Mga geometric na landas at kasukalan

Habang isinusulat ang artikulong ito, naalala ko ang isang napakalumang kanta ni Jan Pietrzak, na kinanta niya bago ang kanyang satirical na aktibidad sa cabaret Pod Egidą, na kinilala sa Polish People's Republic bilang safety valve; ang isa ay maaaring tapat na tumawa sa mga kabalintunaan ng sistema. Sa kantang ito, inirekomenda ng may-akda ang sosyalistang pakikilahok sa pulitika, tinutuya ang mga gustong maging apolitical at patayin ang radyo sa pahayagan. "Mas mainam na bumalik sa pagbabasa sa paaralan," ang noo'y XNUMX-taong-gulang na Petshak ay kumanta ng balintuna.

Babalik ako sa school na nagbabasa. Muli kong binabasa (hindi sa unang pagkakataon) ang aklat ni Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Para sa ilang mga mambabasa, ang salita mismo ay nagsasabi ng isang bagay. Ito ang pangalan ng anak na babae ng sikat na Hindu mathematician na kilala bilang Bhaskara (1114-1185), na pinangalanang Akaria, o ang pantas na pinamagatang ang kanyang aklat sa algebra na may ganoong pangalan. Si Lilavati ay naging isang kilalang matematiko at pilosopo sa kanyang sarili. Ayon sa iba pang mga mapagkukunan, siya mismo ang sumulat ng libro.

Si Szczepan Yelensky ay nagbigay ng parehong pamagat sa kanyang aklat sa matematika (unang edisyon, 1926). Maaaring maging mahirap na tawagan ang aklat na ito bilang isang gawaing matematika - ito ay higit pa sa isang hanay ng mga palaisipan, at higit sa lahat ay muling isinulat mula sa mga mapagkukunang Pranses (ang mga copyright sa modernong kahulugan ay hindi umiiral). Sa anumang kaso, sa loob ng maraming taon ito ang tanging sikat na Polish na libro sa matematika - kalaunan ay idinagdag dito ang pangalawang aklat ni Jelensky, ang Pythagoras's Sweets. Kaya't ang mga kabataan na interesado sa matematika (na kung ano mismo ang dating ako) ay walang mapagpipilian ...

on the other hand, "Lilavati" had to be known almost by heart... Ah, there were times... The their biggest advantage was that I was... a teenager noon. Ngayon, mula sa punto ng view ng isang mahusay na edukadong matematiko, tinitingnan ko si Lilavati sa isang ganap na naiibang paraan - marahil tulad ng isang umaakyat sa mga liko ng landas patungo sa Shpiglasova Pshelench. Wala sa isa o sa isa pa ang nawawalan ng kagandahan nito ... Sa kanyang istilong katangian, si Shchepan Yelensky, na nagpapahayag ng tinatawag na pambansang mga ideya sa kanyang personal na buhay, sumulat siya sa paunang salita:

Nang walang pagpindot sa paglalarawan ng mga pambansang katangian, sasabihin ko na kahit na pagkatapos ng siyamnapung taon, ang mga salita ni Yelensky tungkol sa matematika ay hindi nawala ang kanilang kaugnayan. Tinuturuan ka ng matematika na mag-isip. Ito ay katotohanan. Maaari ba namin kayong turuan na mag-isip nang iba, mas simple at mas maganda? Maaaring. Kaya lang... hindi pa rin natin kaya. Ipinaliwanag ko sa aking mga estudyante na ayaw mag-math na pagsubok din ito sa kanilang katalinuhan. Kung hindi mo matutunan ang talagang simpleng teorya sa matematika, kung gayon... marahil ang iyong mga kakayahan sa pag-iisip ay mas malala kaysa sa gusto nating dalawa...?

Mga palatandaan sa buhangin

At narito ang unang kuwento sa "Lylavati" - isang kuwento na inilarawan ng pilosopong Pranses na si Joseph de Maistre (1753-1821).

Isang marino mula sa isang nawasak na barko ang itinapon ng mga alon sa isang walang laman na baybayin, na itinuturing niyang walang nakatira. Biglang, sa buhangin sa baybayin, nakita niya ang isang bakas ng isang geometric na pigura na iginuhit sa harap ng isang tao. Noon niya napagtanto na ang isla ay hindi desyerto!

Sumipi kay de Mestri, isinulat ni Yelensky: geometriko figureito ay magiging isang mute expression para sa kapus-palad, shipwrecked, pagkakataon, ngunit siya ay nagpakita sa kanya sa isang sulyap proporsyon at numero, at ito heralded isang napaliwanagan tao. Napakaraming para sa kasaysayan.

Tandaan na ang isang mandaragat ay magdudulot ng parehong reaksyon, halimbawa, sa pamamagitan ng pagguhit ng titik K, ... at anumang iba pang bakas ng presensya ng isang tao. Dito na-idealize ang geometry.

Gayunpaman, iminungkahi ng astronomer na si Camille Flammarion (1847-1925) na ang mga sibilisasyon ay bumati sa isa't isa mula sa malayo gamit ang geometry. Nakita niya dito ang tanging tama at posibleng pagtatangka sa komunikasyon. Ipakita natin sa mga ganyang Martian ang Pythagorean triangles... sasagutin nila tayo ng Thales, sasagutin natin sila ng Vieta patterns, magiging triangle ang bilog nila, kaya nagsimula ang pagkakaibigan...

Ang mga manunulat tulad nina Jules Verne at Stanislav Lem ay bumalik sa ideyang ito. At noong 1972, ang mga tile na may geometric (at hindi lamang) mga pattern ay inilagay sa board ng Pioneer probe, na bumabagtas pa rin sa mga kalawakan ng kalawakan, ngayon ay halos 140 astronomical units mula sa amin (1 I ay ang average na distansya ng Earth mula sa Earth) . Araw, ibig sabihin, mga 149 milyong km). Ang tile ay idinisenyo, sa bahagi, ng astronomer na si Frank Drake, ang lumikha ng kontrobersyal na panuntunan sa bilang ng mga extraterrestrial na sibilisasyon.

Kahanga-hanga ang geometry. Alam nating lahat ang pangkalahatang pananaw sa pinagmulan ng agham na ito. Tayo (tayong mga tao) ay nagsimula pa lamang na sukatin ang lupain (at kalaunan ang lupain) para sa pinaka-utilitarian na layunin. Ang pagtukoy ng mga distansya, pagguhit ng mga tuwid na linya, pagmamarka ng mga tamang anggulo at pagkalkula ng mga volume ay unti-unting naging isang pangangailangan. Samakatuwid ang buong bagay geometry ("Pagsukat ng lupa"), kaya lahat ng matematika ...

Gayunpaman, sa loob ng ilang panahon ang malinaw na larawang ito ng kasaysayan ng agham ay nag-ulap sa amin. Sapagkat kung ang matematika ay kailangan lamang para sa mga layunin ng pagpapatakbo, hindi tayo makikibahagi sa pagpapatunay ng mga simpleng teorema. "Nakikita mo na ito ay dapat na totoo sa lahat," sasabihin ng isa pagkatapos suriin na sa ilang mga tamang tatsulok ang kabuuan ng mga parisukat ng mga hypotenuse ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse. Bakit ganyan ang pormalismo?

Kailangang masarap ang plum pie, kailangang gumana ang computer program, kailangang gumana ang makina. Kung bilangin ko ang kapasidad ng bariles ng tatlumpung beses at maayos na ang lahat, bakit pa?

Samantala, naisip ng mga sinaunang Griyego na kailangang matagpuan ang ilang pormal na ebidensya.

Kaya, ang matematika ay nagsisimula kay Thales (625-547 BC). Ipinapalagay na si Miletus ang nagsimulang magtaka kung bakit. Hindi sapat para sa matatalinong tao na may nakita sila, na kumbinsido sila sa isang bagay. Nakita nila ang pangangailangan para sa patunay, isang lohikal na pagkakasunud-sunod ng mga argumento mula sa palagay hanggang sa tesis.

Mas gusto rin nila. Malamang na si Thales ang unang sinubukang ipaliwanag ang mga pisikal na phenomena sa naturalistic na paraan, nang walang interbensyon ng Diyos. Ang pilosopiyang Europeo ay nagsimula sa pilosopiya ng kalikasan - kung ano ang nasa likod na ng pisika (kaya ang pangalan: metapisika). Ngunit ang mga pundasyon ng European ontology at natural na pilosopiya ay inilatag ng mga Pythagorean (Pythagoras, c. 580-c. 500 BC).

Nagtatag siya ng sarili niyang paaralan sa Crotone sa timog ng Apennine Peninsula - ngayon ay tatawagin natin itong sekta. Ang agham (sa kasalukuyang kahulugan ng salita), ang mistisismo, relihiyon at pantasya ay lahat ay malapit na magkakaugnay. Napakaganda ng ipinakita ni Thomas Mann ang mga aralin ng matematika sa isang German gymnasium sa nobelang Doctor Faustus. Isinalin nina Maria Kuretskaya at Witold Virpsha, ang fragment na ito ay nagbabasa:

Sa kawili-wiling aklat ni Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, nakita ko ang isang napaka-interesante na pananaw. Sa isa sa mga kabanata, inilalarawan ng may-akda ang kahalagahan ng paaralang Pythagorean. Ang mismong pamagat ng kabanata ay tumama sa akin. Mababasa nito: "The Invention of Mathematics: The Pythagoreans".

Madalas nating talakayin kung ang mga teoryang matematika ay natutuklasan (hal. hindi kilalang mga lupain) o naimbento (hal. mga makina na wala pa noon). Ang ilang mga malikhaing mathematician ay nakikita ang kanilang sarili bilang mga mananaliksik, ang iba ay bilang mga imbentor o taga-disenyo, na mas madalas na nagko-counter.

Ngunit ang may-akda ng aklat na ito ay nagsusulat tungkol sa pag-imbento ng matematika sa pangkalahatan.

Mula sa pagmamalabis hanggang sa maling akala

Pagkatapos ng mahabang panimulang bahaging ito, magpapatuloy ako sa pinakasimula. geometryupang ilarawan kung paano ang sobrang pag-asa sa geometry ay maaaring iligaw ang isang siyentipiko. Si Johannes Kepler ay kilala sa pisika at astronomiya bilang ang nakatuklas ng tatlong batas ng paggalaw ng mga celestial body. Una, ang bawat planeta sa solar system ay gumagalaw sa paligid ng araw sa isang elliptical orbit, kasama ang araw sa isa sa mga foci nito. Pangalawa, sa mga regular na pagitan ang nangungunang sinag ng planeta, na iginuhit mula sa Araw, ay kumukuha ng pantay na mga patlang. Pangatlo, ang ratio ng parisukat ng panahon ng rebolusyon ng isang planeta sa paligid ng Araw sa kubo ng semi-major axis ng orbit nito (ibig sabihin, ang average na distansya mula sa Araw) ay pare-pareho para sa lahat ng mga planeta sa solar system.

Marahil ito ang ikatlong batas - nangangailangan ito ng maraming data at kalkulasyon upang maitatag ito, na nag-udyok kay Kepler na magpatuloy sa paghahanap ng mga pattern sa paggalaw at posisyon ng mga planeta. Ang kasaysayan ng kanyang bagong "pagtuklas" ay lubhang nakapagtuturo. Mula noong unang panahon, hinahangaan natin hindi lamang ang regular na polyhedra, kundi pati na rin ang mga argumento na nagpapakita na mayroon lamang lima sa kanila sa kalawakan. Ang tatlong-dimensional na polyhedron ay tinatawag na regular kung ang mga mukha nito ay magkaparehong mga regular na polygon at ang bawat vertex ay may parehong bilang ng mga gilid. Sa paglalarawan, ang bawat sulok ng isang regular na polyhedron ay dapat "magkamukha". Ang pinakasikat na polyhedron ay ang kubo. Ang lahat ay nakakita ng isang ordinaryong bukong-bukong.

Ang regular na tetrahedron ay hindi gaanong kilala, at sa paaralan ito ay tinatawag na regular na triangular na pyramid. Parang pyramid. Ang natitirang tatlong regular na polyhedra ay hindi gaanong kilala. Ang isang octahedron ay nabuo kapag ikinonekta natin ang mga sentro ng mga gilid ng isang kubo. Parang bola na ang dodecahedron at icosahedron. Ginawa mula sa malambot na katad, magiging komportable silang maghukay. Ang argumento na walang regular na polyhedra maliban sa limang Platonic solids ay napakahusay. Una, napagtanto natin na kung ang katawan ay regular, kung gayon ang parehong bilang (hayaan q) ng magkaparehong mga regular na polygon ay dapat magtagpo sa bawat vertex, hayaan ang mga ito ay mga p-anggulo. Ngayon kailangan nating tandaan kung ano ang anggulo sa isang regular na polygon. Kung ang isang tao ay hindi naaalala mula sa paaralan, ipinapaalala namin sa iyo kung paano hanapin ang tamang pattern. Naglakbay kami sa kanto. Sa bawat vertex lumiko tayo sa parehong anggulo a. Kapag umikot kami sa polygon at bumalik sa panimulang punto, nakagawa kami ng p tulad ng mga pagliko, at sa kabuuan ay naka-360 degrees kami.

Ngunit ang α ay 180 degrees 'complement ng anggulo na gusto nating kalkulahin, at samakatuwid ay

Natagpuan namin ang formula para sa anggulo (sasabihin ng isang mathematician: ang mga sukat ng isang anggulo) ng isang regular na polygon. Suriin natin: sa tatsulok na p = 3, walang a

Ganito. Kapag p = 4 (parisukat), pagkatapos

ayos din ang degrees.

Ano ang makukuha natin para sa isang pentagon? Kaya kung ano ang mangyayari kapag may mga q polygons, bawat p ay may parehong mga anggulo

 pababang degree sa isang vertex? Kung ito ay nasa isang eroplano, magkakaroon ng isang anggulo

degrees at hindi maaaring higit sa 360 degrees - dahil magkakapatong ang mga polygon.

Gayunpaman, dahil ang mga polygon na ito ay nagtatagpo sa espasyo, ang anggulo ay dapat na mas mababa kaysa sa buong anggulo.

At narito ang hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang lahat ay sumusunod:

Hatiin ito sa 180, i-multiply ang parehong bahagi sa p, order (p-2) (q-2) < 4. Ano ang sumusunod? Alalahanin natin na ang p at q ay dapat na natural na mga numero at ang p > 2 (bakit? At ano ang p?) at gayundin ang q > 2. Walang maraming paraan upang gawing mas mababa sa 4 ang produkto ng dalawang natural na numero. Ililista silang lahat. sa talahanayan 1.

Hindi ako nagpo-post ng mga guhit, makikita ng lahat ang mga figure na ito sa Internet... Sa Internet... Hindi ko tatanggihan ang isang lyrical digression - marahil ito ay kawili-wili para sa mga batang mambabasa. Noong 1970 nagsalita ako sa isang seminar. Mahirap ang paksa. Mayroon akong kaunting oras upang maghanda, nakaupo ako sa mga gabi. Ang pangunahing artikulo ay read-only sa lugar. Ang lugar ay maaliwalas, na may isang gumaganang kapaligiran, mabuti, ito ay nagsara ng alas-siyete. Pagkatapos ang nobya (ngayon ay aking asawa) ay nag-alok na muling isulat ang buong artikulo para sa akin: mga isang dosenang nakalimbag na pahina. Kinopya ko ito (hindi, hindi gamit ang quill pen, mayroon pa kaming mga panulat), matagumpay ang lecture. Ngayon sinubukan kong hanapin ang publikasyong ito, na luma na. Pangalan lang ng may-akda ang naaalala ko... Ang mga paghahanap sa Internet ay tumagal ng mahabang panahon... isang buong labinlimang minuto. Naiisip ko ito ng may ngiti at kaunting hindi makatarungang panghihinayang.

Balik tayo sa Kepler at geometry. Tila, hinulaan ni Plato ang pagkakaroon ng ikalimang regular na anyo dahil kulang siya ng isang bagay na pinag-iisa, na sumasaklaw sa buong mundo. Marahil iyon ang dahilan kung bakit inutusan niya ang isang estudyante (Theajtet) na hanapin siya. Tulad ng dati, ganoon din ito, batay sa kung saan natuklasan ang dodecahedron. Tinatawag natin itong saloobin ng Plato pantheism. Ang lahat ng mga siyentipiko, hanggang sa Newton, ay sumuko dito sa mas malaki o mas maliit na lawak. Mula noong makatuwirang ikalabing walong siglo, ang impluwensya nito ay lubhang nabawasan, bagaman hindi natin dapat ikahiya ang katotohanan na lahat tayo ay sumuko dito sa isang paraan o sa iba pa.

Sa konsepto ni Kepler sa pagbuo ng solar system, lahat ay tama, ang eksperimentong data ay kasabay ng teorya, ang teorya ay lohikal na magkakaugnay, napakaganda ... ngunit ganap na mali. Sa kanyang panahon, anim na planeta lamang ang kilala: Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter at Saturn. Bakit may anim na planeta? tanong ni Kepler. At anong regularidad ang tumutukoy sa kanilang distansya mula sa Araw? Ipinapalagay niya na ang lahat ay konektado, iyon geometry at cosmogony ay malapit na nauugnay sa isa't isa. Mula sa mga sinulat ng mga sinaunang Griyego, alam niya na mayroon lamang limang regular na polyhedra. Nakita niya na mayroong limang voids sa pagitan ng anim na orbit. Kaya marahil ang bawat isa sa mga libreng puwang na ito ay tumutugma sa ilang regular na polyhedron?

Pagkatapos ng ilang taon ng pagmamasid at teoretikal na gawain, nilikha niya ang sumusunod na teorya, sa tulong kung saan kinakalkula niya nang tumpak ang mga sukat ng mga orbit, na ipinakita niya sa aklat na "Mysterium Cosmographicum", na inilathala noong 1596: Isipin ang isang higanteng globo, ang diameter nito ay ang diameter ng orbit ng Mercury sa taunang paggalaw nito sa paligid ng araw. Pagkatapos ay isipin na sa globo na ito ay mayroong isang regular na octahedron, dito ay isang globo, dito ay isang icosahedron, dito muli isang globo, dito ay isang dodecahedron, dito ay isa pang globo, dito ay isang tetrahedron, pagkatapos ay isang globo, isang kubo. at, sa wakas, sa kubo na ito ang bola ay inilarawan.

Napagpasyahan ni Kepler na ang mga diameter ng magkakasunod na mga sphere na ito ay ang mga diameter ng mga orbit ng iba pang mga planeta: Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter, at Saturn. Ang teorya ay tila napaka-tumpak. Sa kasamaang palad, ito ay kasabay ng pang-eksperimentong data. At ano ang mas mahusay na katibayan ng kawastuhan ng isang matematikal na teorya kaysa sa pagsusulatan nito sa pang-eksperimentong data o data sa pagmamasid, lalo na "kinuha mula sa langit"? Ibinubuod ko ang mga kalkulasyong ito sa Talahanayan 2. Kaya ano ang ginawa ni Kepler? Sinubukan ko at sinubukan hanggang sa ito ay gumana, iyon ay, kapag ang pagsasaayos (pagkakasunud-sunod ng mga sphere) at ang mga resultang kalkulasyon ay nag-tutugma sa data ng pagmamasid. Narito ang mga modernong numero at kalkulasyon ng Kepler:

Ang isa ay maaaring sumuko sa pagkahumaling sa teorya at naniniwala na ang mga sukat sa kalangitan ay hindi tumpak, at hindi mga kalkulasyon na ginawa sa katahimikan ng isang workshop. Sa kasamaang palad, ngayon alam natin na mayroong hindi bababa sa siyam na mga planeta at ang lahat ng mga coincidence ng mga resulta ay nagkataon lamang. Nakaka awa. Napakaganda noon...