Coronavirus at Math Education – Mga Koleksyon na Bahagyang Kinomisyon

Ang virus na tumama sa atin ay nagtutulak ng mabilis na reporma sa edukasyon. lalo na sa mas mataas na antas ng edukasyon. Sa paksang ito, maaari kang magsulat ng isang mas mahabang sanaysay, tiyak na magkakaroon ng isang stream ng mga disertasyon ng doktor sa pamamaraan ng pag-aaral ng distansya. Mula sa isang tiyak na pananaw, ito ay isang pagbabalik sa mga ugat at sa nakalimutang gawi ng pag-aaral sa sarili. Kaya ito, halimbawa, sa sekondaryang paaralan ng Kremenets (sa Kremenets, ngayon sa Ukraine, na umiral noong 1805-31, nagtanim hanggang 1914 at naranasan ang kasaganaan nito noong 1922-1939). Ang mga mag-aaral ay nag-aral doon nang mag-isa - pagkatapos lamang nilang malaman ay pumasok ang mga guro na may mga pagwawasto, panghuling paglilinaw, tulong sa mahihirap na lugar, atbp. e.Nung mag-aaral na rin ako, sabi din nila dapat tayo mismo ang kumuha ng kaalaman, na mag-order lang at magpadala ng klase sa unibersidad. Ngunit noon ay isa lamang teorya...

Sa tagsibol ng 2020, hindi lang ako ang nakatuklas na ang mga aralin (kabilang ang mga lektura, pagsasanay, atbp.) ay maaaring maisagawa nang malayuan (Google Meet, Microsoft Teams, atbp.), sa halaga ng maraming trabaho sa bahagi ng guro at isang pagnanais lamang na "makakuha ng edukasyon" sa kabilang banda; ngunit may kaginhawaan din: Umupo ako sa bahay, sa aking upuan, at sa mga tradisyonal na lektura, madalas ding gumawa ng iba ang mga estudyante. Ang epekto ng naturang pagsasanay ay maaaring maging mas mahusay kaysa sa tradisyonal, mula pa noong Middle Ages, class-lesson system. Ano ang matitira sa kanya kapag napunta sa impyerno ang virus? Sa tingin ko... medyo marami. Ngunit makikita natin.

Ngayon ay magsasalita ako tungkol sa mga partially ordered sets. Simple lang. Dahil ang binary relation sa isang non-empty set X ay tinatawag na partial order relation kapag mayroon

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, pilosopo,

Presidente ng Polish Academy of Sciences noong 1957–1962).

1. Reflexive, ibig sabihin, para sa bawat ∈ mayroong ",
2. Paserby, i.e. kung ", at ", pagkatapos ",
3. Semi-asymmetric, ibig sabihin («∧«)→ =

Ang string ay isang set na may sumusunod na property: para sa alinmang dalawang elemento, ang set na ito ay alinman sa "o y". Ang antichain ay...

Tigil tigil! Maaari bang maunawaan ang alinman sa mga ito? Siyempre ito ay. Ngunit mayroon bang sinuman sa mga Mambabasa (alam kung hindi) naunawaan na kung ano ang narito?

Sa tingin ko hindi! At ito ang kanon ng pagtuturo ng matematika. Pati sa school. Una, ang isang disente, mahigpit na kahulugan, at pagkatapos, ang mga hindi nakatulog sa pagkabagot ay tiyak na mauunawaan ang isang bagay. Ang pamamaraang ito ay ipinataw ng "mahusay" na mga guro ng matematika. Dapat siyang maging maingat at mahigpit. Totoo naman na ganito dapat sa huli. Ang matematika ay dapat na isang eksaktong agham (Tingnan din: ).

Dapat kong aminin na sa unibersidad kung saan ako nagtatrabaho pagkatapos magretiro sa Unibersidad ng Warsaw, nagturo din ako sa loob ng maraming taon. Lamang sa loob nito ay ang kilalang balde ng malamig na tubig (hayaan itong manatili sa ganoong paraan: may pangangailangan para sa isang balde!). Biglang, ang mataas na abstraction ay naging magaan at kaaya-aya. Magtakda ng pansin: madali ay hindi nangangahulugang madali. Mahirap din ang light boxer.

Napangiti ako sa mga alaala ko. Itinuro sa akin ang mga pangunahing kaalaman sa matematika ng noo'y dekano ng departamento, isang first-class na mathematician na kararating lang mula sa mahabang pananatili sa Estados Unidos, na sa oras na iyon ay isang bagay na hindi pangkaraniwan sa sarili nito. Medyo snobbish yata siya nung medyo nakalimutan niya ang Polish. Inabuso niya ang lumang Polish na "ano", "samakatuwid", "azalea" at nabuo ang terminong: "semi-asymmetric na relasyon". Gustung-gusto kong gamitin ito, ito ay talagang tumpak. Gusto ko. Ngunit hindi ko ito hinihiling sa mga mag-aaral. Ito ay karaniwang tinutukoy bilang "mababang antisymmetry". Sampung maganda.

Matagal na ang nakalipas, dahil noong dekada ikapitumpu (ng huling siglo) mayroong isang mahusay, masayang reporma ng pagtuturo ng matematika. Ito ay kasabay ng pagsisimula ng maikling panahon ng paghahari ni Eduard Gierek - isang tiyak na pagbubukas ng ating bansa sa mundo. “Maaari ding turuan ang mga bata ng mas mataas na matematika,” ang bulalas ng Dakilang mga Guro. Isang buod ng lecture sa unibersidad na "Fundamentals of Mathematics" ay pinagsama-sama para sa mga bata. Ito ay isang trend hindi lamang sa Poland, ngunit sa buong Europa. Ang paglutas ng equation ay hindi sapat, ang bawat detalye ay kailangang ipaliwanag. Upang hindi maging walang batayan, ang bawat isa sa mga Mambabasa ay maaaring malutas ang sistema ng mga equation:

ngunit kailangang bigyang-katwiran ng mga mag-aaral ang bawat hakbang, sumangguni sa mga nauugnay na pahayag, atbp. Ito ay isang klasikong labis na anyo kaysa sa nilalaman. Madali na akong mamintas ngayon. Ako rin, minsan ay naging tagasuporta ng diskarteng ito. Nakakatuwa... para sa mga kabataang mahilig sa matematika. Ito, siyempre, ay (at, para sa atensyon, ako).

Ngunit sapat na ang digression, mag-negosyo tayo: isang lecture na "theoretically" na nilayon para sa mga sophomores ng Polytechnic at magiging tuyo bilang coconut flakes kung hindi para sa kanya. Nag-e-exaggerate ako ng konti...

Magandang umaga sa iyo. Ang paksa ngayon ay bahagyang paglilinis. Hindi, hindi ito isang pahiwatig ng walang ingat na paglilinis. Ang pinakamahusay na paghahambing ay isaalang-alang kung alin ang mas mahusay: sopas ng kamatis o cream cake. Ang sagot ay malinaw: depende sa kung ano. Para sa dessert - cookies, at para sa isang masustansyang ulam: sopas.

Sa matematika, nakikitungo tayo sa mga numero. Ang mga ito ay iniutos: sila ay mas malaki at mas kaunti, ngunit sa dalawang magkaibang mga numero, ang isa ay palaging mas mababa, na nangangahulugan na ang isa ay mas malaki. Ang mga ito ay nakaayos sa pagkakasunud-sunod, tulad ng mga titik sa alpabeto. Sa class journal, ang pagkakasunud-sunod ay maaaring ang mga sumusunod: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (sila ay mga kaibigan at kaklase mula sa aking klase!). Wala rin kaming duda na Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Ang simbolo para sa "dobleng hindi pagkakapantay-pantay" ay may kahulugang "bago".

Sa aking travel club, sinusubukan naming gawin ang mga listahan ayon sa alpabeto, ngunit sa pamamagitan ng pangalan, halimbawa, Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz, atbp. Sa mga opisyal na talaan, ang pagkakasunud-sunod ay mababaligtad. Tinutukoy ng mga mathematician ang pagkakasunud-sunod ng alpabeto bilang lexicographic (ang leksikon ay higit pa o mas kaunti tulad ng isang diksyunaryo). Sa kabilang banda, ang ganitong pagkakasunud-sunod, kung saan sa isang pangalan na binubuo ng dalawang bahagi (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) una nating tinitingnan ang pangalawang bahagi, ay isang anti-lexicographic na order para sa mga mathematician. Mahabang pamagat, ngunit napakasimpleng nilalaman.

1. Linear order: mga istasyon at hinto sa Habovka-Zakopane railway mula sa Podhale, na itinayo noong 1899 (Iniiwan ko ang pag-decode ng mga pagdadaglat sa mambabasa).

Ang lahat ng naturang order ay tinatawag na line order. Nag-order kami sa turn: una, pangalawa, pangatlo. Ang lahat ay maayos, mula sa unang punto hanggang sa huli. Hindi laging may katuturan. Pagkatapos ng lahat, nag-aayos kami ng mga libro sa library hindi tulad nito, ngunit sa mga seksyon. Sa loob lang ng departamento ay linearly ang inaayos namin (karaniwang alphabetically).

2. Linear order: kapag sinisimulan ang makina ng kotse, nagsasagawa kami ng mga aksyon sa pare-parehong pagkakasunud-sunod.

Sa mas malalaking proyekto, lalo na sa team work, wala na kaming linear order. Tignan natin fig. 3. Gusto naming magtayo ng maliit na hotel. Mayroon na kaming pera (cell 0). Gumagawa kami ng mga permit, nangongolekta ng mga materyales, nagsimula ng pagtatayo, at sabay na nagsasagawa ng isang kampanya sa advertising, naghahanap ng mga empleyado, at iba pa at iba pa. Kapag naabot namin ang "10", maaaring mag-check in ang mga unang bisita (isang halimbawa mula sa mga kuwento ni Mr. Dombrowski at ng kanilang maliit na hotel sa suburb ng Krakow). Meron kami nonlinear order – ang ilang mga bagay ay maaaring mangyari nang magkatulad.

Sa ekonomiya, matututunan mo ang tungkol sa konsepto ng kritikal na landas. Ito ang hanay ng mga aksyon na dapat isagawa nang sunud-sunod (at ito ay tinatawag na chain sa matematika, higit pa doon sa isang sandali), at na tumatagal ng pinakamaraming oras. Ang pagbawas sa oras ng pagtatayo ay isang muling pagsasaayos ng kritikal na landas. Ngunit higit pa tungkol dito sa iba pang mga lektura (Ipapaalala ko sa iyo na nagbabasa ako ng isang "panayam sa unibersidad"). Nakatuon kami sa matematika.

Ang mga diagram tulad ng Figure 3 ay tinatawag na Hasse diagram (Helmut Hasse, German mathematician, 1898–1979). Ang bawat kumplikadong pagsisikap ay dapat planuhin sa ganitong paraan. Nakikita namin ang mga pagkakasunud-sunod ng mga aksyon: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Tinatawag sila ng mga mathematician na mga string. Ang buong ideya ay binubuo ng apat na kadena. Sa kaibahan, ang mga pangkat ng aktibidad 1-2-3-4, 5-6-7, at 8-9 ay mga antichain. Narito kung ano ang tawag sa kanila. Ang katotohanan ay sa isang partikular na grupo, wala sa mga aksyon ang nakasalalay sa nauna.

4. Isa rin itong Hasse diagram.

pumunta tayo sa figure 4. Ano ang kahanga-hanga? Ngunit maaaring ito ay isang metrong mapa sa ilang lungsod! Ang mga riles sa ilalim ng lupa ay palaging nakagrupo sa mga linya - hindi sila dumadaan mula sa isa't isa. Ang mga linya ay magkahiwalay na linya. Sa lungsod ng Fig. 4 ay maghurno linya (tandaan mo yan maghurno ito ay nakasulat na "boldem" - sa Polish ito ay tinatawag na semi-makapal).

Sa diagram na ito (Fig. 4) mayroong isang maikling dilaw na ABF, isang anim na istasyon ng ACFPS, isang berdeng ADGL, isang asul na DGMRT, at ang pinakamahabang pula. Sasabihin ng mathematician: itong Hasse diagram ay mayroon maghurno mga tanikala. Ito ay nasa pulang linya pitong istasyon: AEINRUW. Paano ang tungkol sa mga antichain? Nandiyan sila pitong. Napansin na ng mambabasa na doble-underline ko ang salita pitong.

Antichain ito ay isang hanay ng mga istasyon na imposibleng makarating mula sa isa sa mga ito patungo sa isa pa nang walang paglilipat. Kapag medyo "naiintindihan" natin, makikita natin ang mga sumusunod na antichain: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Pakisuri, halimbawa, hindi posibleng maglakbay mula sa alinman sa mga istasyon ng BCLTV patungo sa isa pang BCTLV nang walang paglilipat, mas tiyak: nang hindi kinakailangang bumalik sa istasyong ipinapakita sa ibaba. Ilang antichain ang mayroon? Pitong. Anong sukat ang pinakamalaki? Maghurno (muli sa bold).

Maaari mong isipin, mga mag-aaral, na ang pagkakataon ng mga numerong ito ay hindi sinasadya. Ito. Ito ay natuklasan at napatunayan (i.e. palaging gayon) noong 1950 ni Robert Palmer Dilworth (1914–1993, American mathematician). Ang bilang ng mga row na kailangan upang masakop ang buong set ay katumbas ng laki ng pinakamalaking antichain, at kabaliktaran: ang bilang ng mga antichain ay katumbas ng haba ng pinakamahabang antichain. Palagi itong nangyayari sa isang partially ordered set, i.e. isa na maaaring makita. Diagram ng Hassego. Ito ay hindi masyadong mahigpit at tamang kahulugan. Ito ang tinatawag ng mga mathematician na "working definition". Medyo iba ito sa "working definition". Ito ay isang pahiwatig kung paano maunawaan ang mga partially ordered set. Ito ay isang mahalagang bahagi ng anumang pagsasanay: tingnan kung paano ito gumagana.

Ang pagdadaglat ng Ingles ay - ang salitang ito ay maganda ang tunog sa mga wikang Slavic, medyo parang tistle. Tandaan na ang tistle ay sanga rin.

Napakaganda, ngunit sino ang nangangailangan nito? Kayo, mahal na mga mag-aaral, kailangan ito upang makapasa sa pagsusulit, at marahil ito ay sapat na dahilan para pag-aralan ito. Nakikinig ako, anong mga tanong? Nakikinig ako, ginoo mula sa ilalim ng bintana. Oh, ang tanong, ito ba ay magiging kapaki-pakinabang sa Panginoon sa iyong buhay? Maaaring hindi, ngunit para sa isang taong mas matalino kaysa sa iyo, sigurado ... Siguro para sa pagsusuri ng kritikal na landas sa isang kumplikadong proyektong pang-ekonomiya?

Sinusulat ko ang tekstong ito sa kalagitnaan ng Hunyo, ang halalan ng rektor ay nangyayari sa Unibersidad ng Warsaw. Nabasa ko ang ilang mga komento mula sa mga gumagamit ng Internet. Mayroong nakakagulat na dami ng poot (o "poot") sa "mga taong may pinag-aralan". May tuwirang sumulat na ang mga taong may edukasyon sa unibersidad ay mas mababa ang alam kaysa sa mga may edukasyon sa unibersidad. Syempre, hindi ako papasok sa usapan. Nalulungkot lang ako na ang itinatag na opinyon sa Polish People's Republic ay bumabalik na ang lahat ay magagawa gamit ang martilyo at pait. Bumalik ako sa matematika.

Ang teorama ni Dillworth ay may ilang kawili-wiling gamit. Ang isa sa kanila ay kilala bilang teorema ng kasal.fig. 6). 

Mayroong isang grupo ng mga babae (sa halip mga babae) at isang bahagyang mas malaking grupo ng mga lalaki. Ang bawat babae ay nag-iisip ng ganito: "Maaari kong pakasalan ang isang ito, para sa isa pa, ngunit hindi kailanman sa aking buhay para sa isang pangatlo." At iba pa, lahat ay may kanya-kanyang kagustuhan. Gumuhit kami ng isang diagram, na humahantong sa bawat isa sa kanila ng isang arrow mula sa taong hindi niya tinatanggihan bilang isang kandidato para sa altar. Q: Maaari bang pagsamahin ang mga mag-asawa upang ang bawat isa ay makahanap ng asawang kanyang tinatanggap?

Ang teorama ni Philip Hall, ay nagsasabi na ito ay maaaring gawin - sa ilalim ng ilang mga kundisyon, na hindi ko tatalakayin dito (pagkatapos sa susunod na panayam, mga mag-aaral, mangyaring). Tandaan, gayunpaman, na ang kasiyahan ng lalaki ay hindi binanggit dito. Tulad ng alam mo, ito ay mga kababaihan na pumili sa amin, at hindi kabaligtaran, tulad ng sa amin (I remind you na ako ay isang may-akda, hindi isang may-akda).

Ilang seryosong matematika. Paano sumusunod ang theorem ni Hall mula kay Dilworth? Ito ay napaka-simple. Tingnan natin muli ang figure 6. Ang mga kadena doon ay napakaikli: mayroon silang haba na 2 (tumatakbo sa direksyon). Ang isang set ng maliliit na lalaki ay isang anti-chain (tiyak na ang mga arrow ay patungo lamang). Kaya, maaari mong takpan ang buong koleksyon na may kasing daming anti-chain gaya ng mga lalaki. Kaya bawat babae ay magkakaroon ng palaso. And that means she can seem like the guy she accepted!!!

Teka, may nagtatanong, yun lang ba? App ba lahat? Magkakasundo ang mga hormone at bakit math? Una, hindi ito ang buong application, ngunit isa lamang sa isang malaking serye. Tingnan natin ang isa sa kanila. Ang ibig sabihin ng (Larawan 6) ay hindi mga kinatawan ng mas mabuting kasarian, ngunit sa halip ay mga prosaic na mamimili, at ito ay mga tatak, halimbawa, mga kotse, washing machine, mga produktong pampababa ng timbang, mga alok ng ahensya sa paglalakbay, atbp. Ang bawat mamimili ay may mga tatak na tinatanggap niya at tumatanggi. May magagawa ba para magbenta ng isang bagay sa lahat at paano? Dito hindi lamang nagtatapos ang mga biro, kundi pati na rin ang kaalaman ng may-akda ng artikulo sa paksang ito. Ang alam ko ay ang pagsusuri ay batay sa medyo kumplikadong matematika.

Ang pagtuturo ng matematika sa paaralan ay pagtuturo ng mga algorithm. Ito ay isang mahalagang bahagi ng pag-aaral. Ngunit dahan-dahan tayong lumilipat patungo sa pag-aaral ng hindi gaanong matematika kaysa sa pamamaraang matematika. Ang lecture ngayon ay tungkol lang dito: pinag-uusapan natin ang abstract mental constructions, iniisip natin ang pang-araw-araw na buhay. Pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga chain at antichain sa mga set na may inverse, transitive at iba pang mga relasyon na ginagamit namin sa mga modelo ng nagbebenta-buyer. Gagawin ng computer ang lahat ng mga kalkulasyon para sa amin. Hindi pa siya gagawa ng mga mathematical models. Panalo pa rin tayo sa ating pag-iisip. Anyway, sana hangga't maaari!