Bakit hindi natin hatiin sa zero?

Maaaring magtaka ang mga mambabasa kung bakit inilaan ko ang isang buong artikulo sa gayong isang banal na isyu? Ang dahilan ay ang tumataginting na bilang ng mga estudyante (!) na kaswal na nagsasagawa ng operasyon sa ilalim ng pangalan. At hindi lang mga estudyante. Minsan nakakahuli din ako ng mga guro. Ano ang magagawa ng mga mag-aaral ng naturang mga guro sa matematika? Ang agarang dahilan ng pagsulat ng tekstong ito ay isang pakikipag-usap sa isang guro kung saan ang paghahati ng zero ay hindi isang problema ...

Sa zero, oo, maliban sa abala ng wala sa lahat, dahil hindi talaga natin kailangang gamitin ito sa pang-araw-araw na buhay. Hindi kami namimili ng zero egg. "May isang tao sa silid" na parang natural, at ang "zero na tao" ay parang artipisyal. Sinasabi ng mga linggwista na ang zero ay nasa labas ng sistema ng wika.

Magagawa rin natin nang walang zero sa mga bank account: gumamit lamang - tulad ng sa isang thermometer - pula at asul para sa positibo at negatibong mga halaga (tandaan na para sa temperatura natural na gumamit ng pula para sa mga positibong numero, at para sa mga bank account ito ay ang kabaligtaran, dahil ang debit ay dapat mag-trigger ng babala, kaya ang pula ay lubos na inirerekomenda).

Sa pamamagitan ng pagsasama ng zero bilang isang natural na numero, hinahawakan natin ang problema ng pagkakaiba-iba Mga numero ng kardinal od sambahayan. Sa loob ng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

ang kapangyarihan ng numero ay kapareho ng bilang ng lugar kung saan ito nakatayo. Kung hindi, ito ay nasa sequence na 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Ang bilang ng mga singleton set ay pumapangalawa, ang bilang ng mga set na may dalawang elemento ay pumapangatlo, at iba pa. Kailangan nating ipaliwanag kung bakit, halimbawa, hindi natin binibilang ang mga lugar ng mga atleta sa mga kumpetisyon mula sa simula. Pagkatapos ang unang puwesto ay tatanggap ng isang pilak na medalya (napunta ang ginto sa zero-place winner), at iba pa. Medyo katulad na pamamaraan ang ginamit sa football - Hindi ko alam kung alam ng mga Readers na ang ibig sabihin ng "league one" ay " sumusunod sa pinakamahusay." “, at ang zero league ay tinawag na maging “major league”.

Minsan naririnig natin ang argumento na kailangan nating magsimula sa simula, dahil ito ay maginhawa para sa mga taong IT. Sa pagpapatuloy ng mga pagsasaalang-alang na ito, ang kahulugan ng isang kilometro ay dapat baguhin - ito ay dapat na 1024 m, dahil ito ang bilang ng mga byte sa isang kilobyte (Ako ay sumangguni sa isang biro na kilala ng mga computer scientist: "Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng isang freshman at isang mag-aaral ng computer science at isang ikalimang taong mag-aaral ng faculty na ito? na ang isang kilobyte ay 1000 kilobytes, ang huli - na ang isang kilometro ay 1024 metro")!

Ang isa pang punto ng pananaw, na dapat na seryosohin, ay ito: palagi nating sinusukat mula sa simula! Ito ay sapat na upang tumingin sa anumang sukat sa pinuno, sa mga kaliskis ng sambahayan, kahit na sa orasan. Dahil sinusukat natin mula sa zero, at ang pagbibilang ay mauunawaan bilang isang pagsukat na may unit na walang sukat, dapat tayong magbilang mula sa zero.

Ito ay isang simpleng bagay, ngunit...

Iwanan natin ang pangkalahatang pangangatwiran at bumalik sa dibisyon ng zero. Ang bagay ay simple at ito ay magiging simple kung hindi dahil sa ... kaya ano? Pag-isipan natin at subukan. Magkano ito - ang isang hinati sa zero? Tingnan natin: 1/0 = x. I-multiply ang magkabilang panig sa denominator ng kaliwang bahagi.

Nakukuha namin ang 1=0. May mali! Anong nangyari? Ah hulaan mo! Ang pagpapalagay na mayroong quotient ng pagkakaisa at zero ay humahantong sa isang kontradiksyon. At kung ang isa ay hindi maaaring hatiin ng zero, ang isa pang numero ay maaari. Kung, Reader, nagkibit-balikat ka at nagtataka kung bakit ang may-akda (iyon ay, ako) ay nagsusulat tungkol sa gayong mga kasinungalingan, kung gayon ... Ako ay natutuwa!

Ang formula na 0/0 = 0 ay maaaring ipagtanggol sa isang matigas ang ulo na batayan, ngunit ito ay sumasalungat sa panuntunan na ang resulta ng paghahati ng isang numero sa kanyang sarili ay katumbas ng isa. Ganap, ngunit medyo naiiba ang mga simbolo tulad ng 0/0, °/° at mga katulad sa calculus. Hindi sila nangangahulugan ng anumang numero, ngunit mga simbolikong pagtatalaga para sa mga partikular na pagkakasunud-sunod ng ilang uri.

Sa isang libro sa electrical engineering, nakakita ako ng isang kawili-wiling paghahambing: ang paghahati sa zero ay kasing mapanganib ng mataas na boltahe ng kuryente. Ito ay normal: Ang batas ng Ohm ay nagsasaad na ang ratio ng boltahe sa paglaban ay katumbas ng kasalukuyang: V = U / R. Kung ang paglaban ay zero, isang theoretically infinite current ang dadaloy sa conductor, na sinusunog ang lahat ng posibleng conductor.

Minsan ay nagsulat ako ng tula tungkol sa mga panganib ng paghahati sa zero para sa bawat araw ng linggo. Naaalala ko na ang pinaka-dramatikong araw ay Huwebes, ngunit sayang ang lahat ng aking trabaho sa lugar na ito.

Kapag hinati mo ang isang bagay sa zero

Napakaaga ng Lunes

Linggo kung ano ang nangyari

Nabigo ka na nang husto.

Noong Martes ng hapon

Naglagay ka ng zero sa denominator

Saka ko sasabihin sayo, nagkakamali ka

Masamang mathematician!

Kapag sa pamamagitan ng zero, sa pamamagitan ng kabuktutan,

Gustong maghiwalay sa Miyerkules

Mapapasama ka sa maraming problema

Mayroon kang dayami at tubig sa iyong ulo!

Isang Bartek ang kasama namin.

Siya ay salungat sa mga patakaran.

Sa Huwebes, ito ay nahahati sa zero.

Wala na siya sa pagitan namin!

Kung ang isang kakaibang pagnanasa ay humawak sa iyo

Hatiin sa zero sa Biyernes

Magiging tapat ako, magiging tapat ako:

Masamang simula ngayong weekend.

Kapag zero, sa isang lugar sa Sabado

Ang divider ay magiging iyo (hindi naka-bold)

Lumuhod sa ilalim ng bakod ng simbahan.

Ito ang iyong muling pagkabuhay.

Gusto mo ba ng zero sa ilalim ng gitling,

Gumawa ng holiday sa Linggo

Magdala ng chalk, black board.

Sumulat: hindi ito mahahati ng zero!

Ang zero ay nauugnay sa kawalan ng laman at kawalan. Sa katunayan, dumating siya sa matematika bilang isang dami na, kapag idinagdag sa anuman, ay hindi nagbabago nito: x + 0 = x. Ngunit ngayon ay lumilitaw ang zero sa maraming iba pang mga halaga, lalo na bilang simula ng sukat. Kung sa labas ng bintana ay walang positibong temperatura o hamog na nagyelo, kung gayon ... ito ay zero, na hindi nangangahulugan na walang temperatura sa lahat. Ang isang zero-class na monumento ay hindi isa na na-demolish nang mahabang panahon at hindi umiiral. Sa kabaligtaran, ito ay tulad ng Wawel, Eiffel Tower at Statue of Liberty.

Well, ang kahalagahan ng zero sa isang positional system ay halos hindi ma-overestimated. Alam mo ba, Reader, ilang zero ang mayroon si Bill Gates sa kanyang bank account? Hindi ko alam, pero gusto ko kalahati. Tila, napansin ni Napoleon Bonaparte na ang mga tao ay parang mga zero: nakakakuha sila ng kahulugan sa pamamagitan ng posisyon. In Andrzej Wajda's As the Years, As the Days Pass, the passionate artist Jerzy explodes: "Philister is zero, nihil, nothing, nothing, nihil, zero." Ngunit ang zero ay maaaring maging mabuti: "zero deviation mula sa pamantayan" ay nangangahulugan na ang lahat ay maayos, at panatilihin ito!

Balik tayo sa matematika. Maaaring idagdag, ibawas at i-multiply ang zero nang walang parusa. "Nakakuha ako ng zero kilo," sabi ni Manya kay Anya. "At ito ay kawili-wili, dahil nawalan ako ng parehong timbang," tugon ni Anya. Kaya kumain tayo ng anim na zero servings ng ice cream ng anim na beses, hindi ito makakasama sa atin.

Hindi natin maaaring hatiin sa zero, ngunit maaari nating hatiin sa zero. Ang isang plato ng zero dumplings ay madaling maibigay sa mga naghihintay ng pagkain. Magkano ang makukuha ng bawat isa?

Ang zero ay hindi positibo o negatibo. Ito at ang numero hindi positiboи hindi negatibo. Natutugunan nito ang mga hindi pagkakapantay-pantay na x≥0 at x≤0. Ang kontradiksyon na "isang bagay na positibo" ay hindi "isang bagay na negatibo", ngunit "isang bagay na negatibo o katumbas ng zero". Ang mga mathematician, salungat sa mga tuntunin ng wika, ay palaging magsasabi na ang isang bagay ay "katumbas ng zero" at hindi "zero." Upang bigyang-katwiran ang kasanayang ito, mayroon tayo: kung babasahin natin ang formula na x = 0 "x ay katumbas ng zero" kung gayon ang x = 1 ay mababasa natin ang "x ay katumbas ng isa", na maaaring lamunin, ngunit paano naman ang "x = 1534267" ? Hindi ka rin makakapagtalaga ng numeric na halaga sa character na 0⁰o itaas ang zero sa isang negatibong kapangyarihan. Sa kabilang banda, maaari mong i-root ang zero kung gusto mo... at ang resulta ay palaging magiging zero. 

Exponential function y = a^x, ang positibong base ng a, ay hindi kailanman nagiging zero. Ito ay sumusunod na walang zero logarithm. Sa katunayan, ang logarithm ng a sa base b ay ang exponent kung saan dapat itaas ang base upang makuha ang logarithm ng a. Para sa a = 0, walang ganoong indicator, at ang zero ay hindi maaaring maging base ng logarithm. Gayunpaman, iba ang zero sa "denominator" ng simbolo ni Newton. Ipinapalagay namin na ang mga kombensyong ito ay hindi humahantong sa isang kontradiksyon.

maling ebidensya

Ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay isang karaniwang paksa para sa mga maling patunay, at nangyayari ito kahit na sa mga bihasang mathematician. Hayaan akong magbigay sa iyo ng dalawa sa aking mga paboritong halimbawa. Ang una ay algebraic. Ako ay "patunayan" na ang lahat ng mga numero ay pantay. Ipagpalagay na mayroong dalawang numero na hindi pantay. Samakatuwid, ang isa sa kanila ay mas malaki kaysa sa isa, hayaan ang a > b. Ipagpalagay natin na c ang kanilang pagkakaiba

c \uXNUMXd a - b. Kaya mayroon kaming a - b = c, kung saan a = b + c.

I-multiply namin ang parehong bahagi ng huli sa a - b:

a² - ab = ab + ac - b2 - bc.

Isinasalin ko ang ak sa kaliwang bahagi, siyempre naaalala ko ang tungkol sa pagbabago ng tanda:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Ibinubukod ko ang mga karaniwang salik:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Ibinahagi ko at nakuha ko ang gusto ko:

a = b.

At talagang kahit na estranghero, dahil ipinapalagay ko na a > b, at nakuha ko iyon a = b. Kung sa halimbawa sa itaas ang "cheating" ay madaling makilala, kung gayon sa geometric na patunay sa ibaba ito ay hindi ganoon kadali. Patutunayan ko na ... ang trapezoid ay hindi umiiral. Ang pigura na karaniwang tinatawag na trapezoid ay hindi umiiral.

Ngunit ipagpalagay muna na mayroong isang bagay bilang isang trapezoid (ABCD sa figure sa ibaba). Mayroon itong dalawang magkatulad na panig ("mga base"). Iunat natin ang mga baseng ito, tulad ng ipinapakita sa larawan, upang makakuha tayo ng paralelogram. Hinahati ng mga diagonal nito ang iba pang dayagonal ng trapezoid sa mga segment na ang mga haba ay tinutukoy ng x, y, z, tulad ng sa figure 1. Mula sa pagkakapareho ng kaukulang mga tatsulok, nakukuha namin ang mga proporsyon:

kung saan namin tinukoy:

Oraz

kung saan namin tinukoy:

Ibawas ang mga panig ng pagkakapantay-pantay na minarkahan ng mga asterisk:

 Pagpapaikli sa magkabilang panig ng x − z, nakukuha natin – a/b = 1, na nangangahulugang a + b = 0. Ngunit ang mga numero a, b ay ang haba ng mga base ng trapezoid. Kung ang kanilang kabuuan ay zero, kung gayon sila ay zero din. Nangangahulugan ito na ang isang figure tulad ng isang trapezoid ay hindi maaaring umiral! At dahil ang mga parihaba, rhombus at mga parisukat ay mga trapezoid din, kung gayon, mahal na Mambabasa, wala ring mga rhombus, parihaba at parisukat ...

Hulaan Hulaan

Ang pagbabahagi ng impormasyon ay ang pinakakawili-wili at mapaghamong sa apat na pangunahing aktibidad. Dito, sa unang pagkakataon, nakatagpo kami ng hindi pangkaraniwang bagay na karaniwan sa pagtanda: "hulaan ang sagot, at pagkatapos ay suriin kung tama ang iyong nahulaan." Ito ay napaka-angkop na ipinahayag ni Daniel K. Dennett ("How to Make Mistakes?", sa How It Is - A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997):

Ang pamamaraang ito ng "paghula" ay hindi nakakasagabal sa ating pang-adultong buhay - marahil dahil maaga nating natutunan ito at hindi mahirap ang paghula. Sa ideologically, ang parehong phenomenon ay nangyayari, halimbawa, sa mathematical (kumpleto) induction. Sa parehong lugar, "hulaan" namin ang formula at pagkatapos ay suriin kung tama ang aming hula. Palaging nagtatanong ang mga estudyante: “Paano natin nalaman ang pattern? Paano ito maalis?" Kapag tinatanong ako ng mga estudyante ng tanong na ito, ginagawa kong biro ang kanilang tanong: "Alam ko ito dahil propesyonal ako, dahil binayaran ako para malaman." Ang mga mag-aaral sa paaralan ay maaaring sagutin sa parehong estilo, mas seryoso lamang.

Mag-ehersisyo. Tandaan na sinisimulan natin ang pagdaragdag at nakasulat na multiplikasyon na may pinakamababang yunit, at paghahati na may pinakamataas na yunit.

Isang kumbinasyon ng dalawang ideya

Palaging itinuturo ng mga guro sa matematika na ang tinatawag nating paghihiwalay ng may sapat na gulang ay ang pagsasama ng dalawang magkaibang ideya sa konsepto: Pabahay i paghihiwalay.

Ang una (Pabahay) ay nangyayari sa mga gawain kung saan ang archetype ay:

Divide-divide Ito ang mga gawain tulad ng:

? (Pinananatili namin ang orihinal na istilo ng problemang ito, na kinuha mula sa handbook ni Julian Zgozalewicz na inilathala sa Krakow noong 1892 - ang złoty ay ang Rhenish złoty, ang pera na umiikot sa Austro-Hungarian Empire hanggang sa simula ng ika-XNUMX siglo).

Ngayon isaalang-alang ang dalawang problema sa ang pinakalumang aklat-aralin sa matematika sa Polish, ama Tomasz Clos (1538). Ito ba ay isang dibisyon o isang coupe? Lutasin ito sa paraang dapat na ang mga mag-aaral sa ika-XNUMX na siglo ay:

(Polish to Polish translation: May isang quart at apat na kaldero sa isang bariles. Ang isang palayok ay apat na quarts. May bumili ng 20 barrels ng alak sa halagang 50 zł para sa kalakalan. Ang tungkulin at buwis (excise?) ay magiging 8 zł. Magkano ang magbenta ng isang quart para kumita ng 8 zł?)

Sports, physics, congruence

Minsan sa sports kailangan mong hatiin ang isang bagay sa zero (goal ratio). Well, ang mga hukom sa paanuman ay nakikitungo dito. Gayunpaman, sa abstract algebra sila ay nasa agenda. di-zero na damina ang parisukat ay zero. Maaari itong ipaliwanag nang simple.

Isaalang-alang ang isang function F na nag-uugnay ng isang punto (y, 0) sa isang punto sa eroplano (x, y). Ano ang F², iyon ay, isang dobleng pagpapatupad ng F? Zero function - bawat punto ay may larawan (0,0).

Sa wakas, ang mga di-zero na dami na ang parisukat ay 0 ay halos araw-araw na tinapay para sa mga pisiko, at mga numero ng anyong a + bε, kung saan ε ≠ 0, ngunit ε² = 0, tawag ng mga mathematician dobleng numero. Nagaganap ang mga ito sa mathematical analysis at sa differential geometry.

Pagkatapos ng lahat, mayroong isang bagay sa aritmetika na may dibisyon ng zero sa hindi bababa sa pangalan. Ito ay mula sa pagkakaugnay. Hayaang tukuyin ng Z ang hanay ng mga integer. Ang paghahati ng set Z sa p ay nangangahulugan na itinutumbas natin ang bawat numero (integer) sa ilang iba pa, ibig sabihin, sa mga kung saan ang kanilang pagkakaiba ay nahahati. Kaya, kapag mayroon kaming limang uri ng mga numero na tumutugma sa mga numero 0, 1, 2, 3, 4 - ang mga posibleng natitira kapag hinati sa 5. Ang formula ay nakasulat tulad nito:

mod kapag ang pagkakaiba ay maramihan.

Para sa = 2, mayroon lang tayong dalawang numero: 0 at 1. Ang paghahati ng mga integer sa dalawang ganoong klase ay katumbas ng paghahati sa kanila sa kahit na at kakaiba. Palitan natin ngayon. Ang pagkakaiba ay palaging nahahati ng 1 (anumang integer ay nahahati ng 1). Posible bang kumuha ng =0? Subukan natin: kailan ang pagkakaiba ng dalawang numero ay multiple ng zero? Lamang kapag ang dalawang numero ay pantay. Kaya't ang paghahati ng isang set ng mga integer sa pamamagitan ng zero ay makatuwiran, ngunit hindi ito kawili-wili: walang nangyayari. Gayunpaman, dapat itong bigyang-diin na hindi ito dibisyon ng mga numero sa kahulugan na kilala mula sa elementarya.

Ang ganitong mga aksyon ay ipinagbabawal lamang, pati na rin ang mahaba at malawak na matematika.

kanin. 2. Pagkilala sa mga numero gamit ang paghahambing

(mode 5 at mode 2)