Paglalakbay sa hindi tunay na mundo ng matematika

Isinulat ko ang artikulong ito sa isa sa mga kapaligiran, pagkatapos ng isang panayam at pagsasanay sa isang kolehiyo ng computer science. Ipinagtatanggol ko ang aking sarili laban sa pagpuna sa mga mag-aaral ng paaralang ito, ang kanilang kaalaman, saloobin sa agham at, higit sa lahat, ang kanilang mga kasanayan sa pagtuturo. Ito... walang nagtuturo sa kanila.

Bakit ang defensive ko? Sa isang simpleng dahilan - nasa edad na ako kung saan, marahil, ang mundo sa paligid natin ay hindi pa naiintindihan. Siguro tinuturuan ko silang harness at unharness ang mga kabayo, at huwag magmaneho ng kotse? Siguro tinuturuan ko silang magsulat gamit ang quill pen? Bagama't mas maganda ang opinyon ko sa isang tao, itinuturing ko ang aking sarili na "sumusunod", ngunit...

Hanggang kamakailan, noong high school, pinag-usapan nila ang mga kumplikadong numero. At nitong Miyerkules ako umuwi, huminto - halos wala pa sa mga estudyante ang natutunan kung ano ito at kung paano gamitin ang mga numerong ito. Ang ilan ay tumingin sa lahat ng matematika tulad ng isang gansa sa isang pininturahan na pinto. Ngunit talagang nagulat din ako nang sabihin nila sa akin kung paano matuto. Sa madaling salita, ang bawat oras ng lecture ay dalawang oras ng takdang-aralin: pagbabasa ng textbook, pag-aaral kung paano lutasin ang mga problema sa isang partikular na paksa, atbp. Ang pagkakaroon ng paghahanda sa ganitong paraan, dumating kami sa mga pagsasanay, kung saan pinagbubuti namin ang lahat ... Kawili-wili, ang mga mag-aaral, tila, naisip na ang pag-upo sa lektura - kadalasang nakatingin sa labas ng bintana - ay ginagarantiyahan na ang pagpasok ng kaalaman sa ulo.

Tumigil ka! Sapat na dito. Ilalarawan ko ang aking sagot sa isang tanong na natanggap ko sa isang klase kasama ang mga fellows mula sa National Children's Fund, isang institusyon na sumusuporta sa mga mahuhusay na bata mula sa buong bansa. Ang tanong (o sa halip ang mungkahi) ay:

— Maaari mo bang sabihin sa amin ang tungkol sa hindi totoong mga numero?

“Of course,” sagot ko. 

Ang katotohanan ng mga numero

"Ang isang kaibigan ay isa pa sa akin, ang pagkakaibigan ay ang ratio ng mga numero 220 at 284," sabi ni Pythagoras. Ang punto dito ay ang kabuuan ng mga divisors ng numerong 220 ay 284, at ang kabuuan ng mga divisors ng numerong 284 ay 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Ang isa pang kawili-wiling pagkakataon sa pagitan ng mga numero 220 at 284 ay ito: ang labing pitong pinakamataas na prime number ay 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , at 59.

Ang kanilang kabuuan ay 2x220, at ang kabuuan ng mga parisukat ay 59x284.

Una. Walang konsepto ng "tunay na numero". Ito ay tulad ng pagkatapos basahin ang isang artikulo tungkol sa mga elepante, itatanong mo, "Ngayon ay hihingi kami ng mga hindi elepante." Mayroong buo at di-buo, makatwiran at hindi makatwiran, ngunit walang hindi makatotohanan. Sa partikular: Ang mga numerong hindi totoo ay hindi tinatawag na invalid. Mayroong maraming mga uri ng "mga numero" sa matematika, at sila ay naiiba sa isa't isa, tulad ng - kumuha ng zoological na paghahambing - isang elepante at isang earthworm.

Pangalawa, magsasagawa kami ng mga operasyon na maaaring alam mo nang ipinagbabawal: pag-extract ng mga square root ng mga negatibong numero. Buweno, malalampasan ng matematika ang gayong mga hadlang. Ito ba ay may katuturan bagaman? Sa matematika, tulad ng sa anumang iba pang agham, kung ang isang teorya ay pumasok magpakailanman sa imbakan ng kaalaman ay nakasalalay ... sa aplikasyon nito. Kung ito ay walang silbi, pagkatapos ito ay napupunta sa basurahan, pagkatapos ay sa ilang basura ng kasaysayan ng kaalaman. Kung wala ang mga numero na pinag-uusapan ko sa dulo ng artikulong ito, imposibleng bumuo ng matematika. Ngunit magsimula tayo sa ilang maliliit na bagay. Ano ang mga tunay na numero, alam mo. Pinupuno nila ang linya ng numero nang makapal at walang mga puwang. Alam mo rin kung ano ang mga natural na numero: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - lahat ng mga ito ay hindi magkakasya sa memorya kahit na ang pinakadakila. Mayroon din silang magandang pangalan: natural. Mayroon silang napakaraming mga kagiliw-giliw na katangian. Paano mo ito gusto:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Natural na maging interesado sa natural na mga numero,” sabi ni Karl Lindenholm, at ni Leopold Kronecker (1823–1891) nang maikli: “Nilikha ng Diyos ang natural na mga numero—lahat ng iba pa ay gawa ng tao!” Ang mga fraction (tinatawag na rational number ng mga mathematician) ay mayroon ding mga kamangha-manghang katangian:

at sa pagkakapantay-pantay:

maaari mong, simula sa kaliwang bahagi, kuskusin ang mga plus at palitan ang mga ito ng mga palatandaan ng pagpaparami - at ang pagkakapantay-pantay ay mananatiling totoo:

At iba pa.

Tulad ng alam mo, para sa mga praksyon a/b, kung saan ang a at b ay mga integer, at b ≠ 0, sinasabi nila makatwirang numero. Ngunit sa Polish lamang ang tawag nila sa kanilang sarili. Nagsasalita sila ng Ingles, Pranses, Aleman at Ruso. makatwirang numero. Sa Ingles: rational numbers. Hindi nakapangangatwiran numero ito ay hindi makatwiran, hindi makatwiran. Nagsasalita din kami ng Polish tungkol sa hindi makatwiran na mga teorya, ideya at gawa - ito ay kabaliwan, haka-haka, hindi maipaliwanag. Sinasabi nila na ang mga babae ay natatakot sa mga daga - hindi ba't hindi makatwiran?

Noong sinaunang panahon, ang mga numero ay may kaluluwa. Ang bawat isa ay nangangahulugan ng isang bagay, ang bawat isa ay sumasagisag ng isang bagay, ang bawat isa ay sumasalamin sa isang maliit na butil ng pagkakaisa ng Uniberso, iyon ay, sa Griyego, ang Cosmos. Ang mismong salitang "cosmos" ay nangangahulugang eksaktong "kaayusan, kaayusan". Ang pinakamahalaga ay anim (ang perpektong numero) at sampu, ang kabuuan ng magkakasunod na mga numero na 1+2+3+4, na binubuo ng iba pang mga numero na ang simbolismo ay nakaligtas hanggang ngayon. Kaya itinuro ni Pythagoras na ang mga numero ay ang simula at pinagmumulan ng lahat, at ang pagtuklas lamang hindi nakapangangatwiran numero binaling ang kilusang Pythagorean patungo sa geometry. Alam namin ang katwiran mula sa paaralan na

Ang √2 ay isang hindi makatwirang numero

Para ipagpalagay na mayroong: at ang fraction na ito ay hindi maaaring bawasan. Sa partikular, ang p at q ay kakaiba. Tayo ay parisukat: 2q²=p². Ang bilang na p ay hindi maaaring kakaiba, mula noon p² ay magiging, at ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay isang multiple ng 2. Kaya, ang p ay pantay, ibig sabihin, p = 2r, kaya p²= 4r². Binabawasan namin ang equation na 2q²= 4r² sa pamamagitan ng 2. Nakukuha natin ang q²= 2r² at nakikita natin na ang q ay dapat ding maging pantay, na ipinapalagay natin na hindi ganoon. Ang resultang kontradiksyon ay kumukumpleto ng patunay - ang formula na ito ay madalas na matatagpuan sa bawat aklat ng matematika. Ang circumstantial proof na ito ay isang paboritong trick ng mga sophist.

Ang kalawakang ito ay hindi maintindihan ng mga Pythagorean. Ang lahat ay dapat na mailarawan sa pamamagitan ng mga numero, at ang dayagonal ng isang parisukat, na maaaring iguhit ng sinuman gamit ang isang stick sa buhangin, ay walang, iyon ay, nasusukat, ang haba. "Ang aming pananampalataya ay walang kabuluhan," tila sinasabi ng mga Pythagorean. Paano kaya? Ito ay uri ng... hindi makatwiran. Sinubukan ng Unyon na iligtas ang sarili sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng sekta. Ang sinumang maglakas-loob na ihayag ang kanilang pag-iral hindi nakapangangatwiran numero, ay dapat parusahan ng kamatayan, at, tila, ang unang pangungusap ay isinagawa mismo ng amo.

Ngunit "ang pag-iisip ay lumipas nang hindi nasaktan." Dumating na ang ginintuang edad. Tinalo ng mga Griyego ang mga Persian (Marathon 490, Block 479). Ang demokrasya ay pinalakas, ang mga bagong sentro ng pilosopikal na kaisipan at mga bagong paaralan ay bumangon. Ang mga Pythagorean ay nakikipagpunyagi pa rin sa mga hindi makatwirang numero. Ang ilan ay nangaral: hindi natin mauunawaan ang misteryong ito; maaari lamang nating pagnilayan at paghanga sa Uncharted. Ang huli ay mas pragmatic at hindi iginagalang ang Misteryo. Sa oras na iyon, lumitaw ang dalawang mental constructions na naging posible upang maunawaan ang mga hindi makatwiran na numero. Ang katotohanan na sapat na nating naiintindihan ang mga ito ngayon ay kabilang sa Eudoxus (ika-XNUMX siglo BC), at ito ay sa pagtatapos lamang ng ika-XNUMX na siglo na ibinigay ng German mathematician na si Richard Dedekind ang teorya ng Eudoxus ng wastong pag-unlad alinsunod sa mga kinakailangan ng mahigpit. lohika ng matematika.

Mass of figures o torture

Kaya mo bang mabuhay nang walang mga numero? Kahit na kung ano ang magiging buhay ... Kailangan naming pumunta sa tindahan upang bumili ng sapatos na may stick, na dati naming sinukat ang haba ng paa. "Gusto ko ng mansanas, ah, eto na!" – ipapakita namin ang mga nagbebenta sa merkado. "Gaano kalayo ito mula sa Modlin hanggang Nowy Dwur Mazowiecki"? “Medyo malapit na!”

Ang mga numero ay ginagamit upang sukatin. Sa kanilang tulong, nagpapahayag din kami ng maraming iba pang mga konsepto. Halimbawa, ang sukat ng mapa ay nagpapakita kung gaano nabawasan ang lugar ng bansa. Ang dalawang-sa-isang sukat, o simpleng 2, ay nagpapahayag ng katotohanan na ang isang bagay ay nadoble ang laki. Sabihin natin sa matematika: ang bawat homogeneity ay tumutugma sa isang numero - ang sukat nito.

Task. Gumawa kami ng isang xerographic na kopya, pinalaki ang imahe nang maraming beses. Pagkatapos ang pinalaki na fragment ay muling pinalaki ng b beses. Ano ang pangkalahatang sukat ng magnification? Sagot: a × b pinarami ng b. Ang mga kaliskis na ito ay kailangang paramihin. Ang "minus one" na numero, -1, ay tumutugma sa isang katumpakan na nakasentro, ibig sabihin, pinaikot 180 degrees. Anong numero ang tumutugma sa isang 90 degree na pagliko? Walang ganoong numero. Ito ay, ito ay… o sa halip, ito ay malapit na. Handa ka na ba para sa moral na pagpapahirap? Maging matapang at kunin ang square root ng minus one. Nakikinig ako? Ano ang hindi mo kaya? Tutal, sinabi ko sa iyo na maging matapang ka. Hilahin ito! Uy, mabuti, hilahin, hilahin... Tutulungan ko... Dito: -1 Ngayong mayroon na tayo, subukan nating gamitin ito... Siyempre, maaari nating kunin ang mga ugat ng lahat ng negatibong numero, para halimbawa.:

√-4 = 2√-1,-16 = 4√-1

"Anuman ang sakit sa isip na dala nito." Ito ang isinulat ni Girolamo Cardano noong 1539, sinusubukang malampasan ang mga paghihirap sa pag-iisip na nauugnay sa - na sa lalong madaling panahon ay tinawag ito - haka-haka na dami. Isinasaalang-alang niya ang mga ito...

...Task. Hatiin ang 10 sa dalawang bahagi, ang produkto nito ay 40. Naaalala ko na mula sa nakaraang yugto ay sumulat siya ng ganito: Tiyak na imposible. Gayunpaman, gawin natin ito: hatiin ang 10 sa dalawang pantay na bahagi, ang bawat isa ay katumbas ng 5. I-multiply ang mga ito - naging 25. Mula sa nagresultang 25, ngayon ibawas ang 40, kung gusto mo, at makakakuha ka ng -15. Ngayon tingnan: √-15 ang idinagdag at ibinawas sa 5 ay nagbibigay sa iyo ng produkto ng 40. Ito ang mga numerong 5-√-15 at 5 + √-15. Ang pagpapatunay ng resulta ay isinagawa ni Cardano tulad ng sumusunod:

“Anuman ang sakit na dala nito, i-multiply ang 5 + √-15 sa 5-√-15. Nakukuha namin ang 25 - (-15), na katumbas ng 25 + 15. Kaya, ang produkto ay 40 .... Mahirap talaga."

Well, magkano ang: (1 + √-1) (1-√-1)? Paramihin natin. Tandaan na √-1 × √-1 = -1. Malaki. Ngayon isang mas mahirap na gawain: mula sa a + b√-1 hanggang ab√-1. Anong nangyari? Tiyak, tulad nito: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Ano ang kawili-wili dito? Halimbawa, ang katotohanan na maaari nating i-factor ang mga expression na "hindi natin alam noon." Ang pinaikling pormula ng pagpaparami para sa²-b² Naaalala mo ba ang formula para sa²+b² ito ay hindi, dahil ito ay hindi maaaring maging. Sa domain ng totoong mga numero, ang polynomial²+b² ito ay hindi maiiwasan. Tukuyin natin ang "aming" square root ng "minus one" na may letrang i.²= -1. Isa itong "hindi totoong" prime number. At iyon ang naglalarawan ng 90 degree na pagliko ng isang eroplano. Bakit? Pagkatapos ng lahat,²= -1, at ang pagsasama-sama ng isang 90-degree na pag-ikot at isa pang 180-degree na pag-ikot ay nagbibigay ng 45-degree na pag-ikot. Anong uri ng pag-ikot ang inilalarawan? Malinaw na isang XNUMX degree na pagliko. Ano ang ibig sabihin ng -i? Ito ay medyo mas kumplikado:

(-ako)² = -i × (-i) = +i² = -1

Inilalarawan din ng -i ang isang 90 degree na pag-ikot, sa kabaligtaran lamang ng direksyon ng pag-ikot ng i. Alin ang kaliwa at alin ang tama? Dapat kang gumawa ng appointment. Ipinapalagay namin na ang numerong i ay tumutukoy sa isang pag-ikot sa direksyon na itinuturing ng mga mathematician na positibo: counterclockwise. Ang numero -i ay naglalarawan ng pag-ikot sa direksyon na gumagalaw ang mga pointer.

Ngunit mayroon bang mga numerong tulad ng i at -i? Ay! Binuhay lang namin sila. Nakikinig ako? Na sila ay umiiral lamang sa ating ulo? Well ano ang aasahan? Ang lahat ng iba pang mga numero ay umiiral lamang sa ating isipan. Kailangan nating tingnan kung ang ating mga bagong silang na numero ay nabubuhay. Mas tiyak, kung ang disenyo ay lohikal at kung sila ay magiging kapaki-pakinabang para sa isang bagay. Mangyaring tanggapin ang aking salita para dito na ang lahat ay maayos at ang mga bagong numerong ito ay talagang nakakatulong. Mga numero tulad ng 3+i, 5-7i, mas pangkalahatan: a+bi ay tinatawag na mga kumplikadong numero. Ipinakita ko sa iyo kung paano mo makukuha ang mga ito sa pamamagitan ng pag-ikot ng eroplano. Maaari silang maipasok sa iba't ibang paraan: bilang mga punto sa isang eroplano, bilang ilang polynomial, bilang ilang uri ng mga numerical arrays ... at sa bawat oras na pareho sila: ang equation x² +1=0 walang elemento... hocus pocus na!!!! Tayo'y magsaya at magsaya!!!

Pagtatapos ng tour

Ito ay nagtatapos sa aming unang paglilibot sa bansa ng mga pekeng numero. Sa iba pang hindi makalupa na mga numero, babanggitin ko rin ang mga may walang katapusang bilang ng mga digit sa harap, at hindi sa likod (tinatawag silang 10-adic, para sa amin ang p-adic ay mas mahalaga, kung saan ang p ay isang prime number), para sa halimbawa X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Bilangin natin ang X please². Dahil? Paano kung kalkulahin natin ang parisukat ng isang numero na sinusundan ng isang walang katapusang bilang ng mga digit? Well, gawin natin ang parehong. Alam namin na x² = X.

Maghanap tayo ng isa pang ganoong numero na may walang katapusang bilang ng mga digit sa harap na nakakatugon sa equation. Hint: ang parisukat ng isang numero na nagtatapos sa anim ay nagtatapos din sa anim. Ang parisukat ng isang numero na nagtatapos sa 76 ay nagtatapos din sa 76. Ang parisukat ng isang numero na nagtatapos sa 376 ay nagtatapos din sa 376. Ang parisukat ng isang numero na nagtatapos sa 9376 ay nagtatapos din sa 9376. Ang parisukat ng isang numero na nagtatapos sa XNUMX noong… Mayroon ding mga numero na napakaliit na, bilang positibo, nananatili silang mas maliit kaysa sa anumang iba pang positibong numero. Ang mga ito ay napakaliit na kung minsan ay sapat na upang kuwadrado ang mga ito upang makakuha ng zero. May mga numerong hindi nakakatugon sa kundisyon a × b = b × a. Mayroon ding mga walang katapusang numero. Ilang natural na numero ang mayroon? Walang katapusang marami? Oo, ngunit magkano? Paano ito maipapahayag bilang isang numero? Sagot: ang pinakamaliit sa walang katapusang mga numero; ito ay minarkahan ng magandang letra: A at dinagdagan ng zero index A₀ , aleph-zero.

Mayroon ding mga numero na hindi natin alam na umiiral... o maaari mong paniwalaan o hindi paniwalaan ayon sa gusto mo. And speaking of the like: Sana magustuhan mo pa rin ang Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.