Mga cipher at espiya

Sa Math Corner ngayon, titingnan ko ang isang paksang tinalakay ko sa taunang Science Camp ng National Children's Foundation para sa mga bata. Ang pundasyon ay naghahanap ng mga bata at kabataan na may mga interes sa agham. Hindi mo kailangang maging sobrang galing, ngunit kailangan mong magkaroon ng "scientific streak." Hindi kailangan ang napakagandang mga marka sa paaralan. Subukan mo, baka magustuhan mo. Kung ikaw ay isang senior elementary school o high school student, mag-apply. Kadalasan ang mga magulang o paaralan ang gumagawa ng mga ulat, ngunit hindi ito palaging nangyayari. Hanapin ang website ng Foundation at alamin.

Parami nang parami ang usapan sa paaralan tungkol sa "coding", na tumutukoy sa aktibidad na dating kilala bilang "programming". Ito ay isang karaniwang pamamaraan para sa mga teoretikal na tagapagturo. Naghuhukay sila ng mga lumang pamamaraan, binibigyan sila ng bagong pangalan, at ang "pag-unlad" ay ginawa mismo. Mayroong ilang mga lugar kung saan nangyayari ang naturang cyclical phenomenon.

Maaari itong maging konklusyon na pinababa ko ang didactics. Hindi. Sa pag-unlad ng kabihasnan, minsan bumabalik tayo sa dati, iniwan at ngayon ay muling binubuhay. Pero mathematical ang corner namin, hindi philosophical.

Ang pag-aari sa isang partikular na komunidad ay nangangahulugan din ng "mga karaniwang simbolo", karaniwang mga babasahin, kasabihan at talinghaga. Ang taong ganap na natuto ng wikang Polish na "may isang malaking kasukalan sa Szczebrzeszyn, ang isang salagubang ay umuugong sa mga tambo" ay agad na malantad bilang isang espiya ng isang dayuhang estado kung hindi niya sasagutin ang tanong kung ano ang ginagawa ng woodpecker. Syempre nasusuffocate siya!

Ito ay hindi isang biro lamang. Noong Disyembre 1944, inilunsad ng mga Aleman ang kanilang huling opensiba sa Ardennes sa malaking gastos. Pinakilos nila ang mga sundalong matatas magsalita ng Ingles upang guluhin ang paggalaw ng mga kaalyadong tropa, halimbawa sa pamamagitan ng pag-akay sa kanila sa maling direksyon sa sangang-daan. Matapos ang ilang sandali ng sorpresa, nagsimulang magtanong ang mga Amerikano sa mga sundalo ng mga kahina-hinalang katanungan, ang mga sagot na magiging halata sa isang tao mula sa Texas, Nebraska o Georgia at hindi maiisip ng isang taong hindi lumaki doon. Ang kamangmangan sa mga katotohanan ay direktang humantong sa pagpapatupad.

Sa punto. Inirerekomenda ko sa mga mambabasa ang aklat ni Lukasz Badowski at Zaslaw Adamashek na "Laboratory in a Desk Drawer - Mathematics". Ito ay isang kahanga-hangang libro na napakatalino na nagpapakita na ang matematika ay talagang kapaki-pakinabang para sa isang bagay at ang "eksperimento sa matematika" ay hindi mga salitang walang laman. Kabilang dito, bukod sa iba pang mga bagay, ang inilarawan na pagtatayo ng "cardboard enigma" - isang aparato na aabutin lamang tayo ng labinlimang minuto upang lumikha at gumagana tulad ng isang seryosong cipher machine. Ang ideya mismo ay kilalang-kilala, ang mga nabanggit na may-akda ay nagtrabaho ito nang maganda, at babaguhin ko ito ng kaunti at ibalot ito ng mas mathematical na damit.

mga hacksaw

Sa isa sa mga kalye ng aking dacha village sa suburbs ng Warsaw, ang simento ay na-dismantle kamakailan mula sa "trlinka" - hexagonal paving slab. Ang pagsakay ay hindi komportable, ngunit ang kaluluwa ng mathematician ay nagalak. Ang pagtakip sa eroplano ng regular (i.e. regular) na mga polygon ay hindi madali. Maaari lamang itong maging mga tatsulok, parisukat at regular na hexagon.

Marahil ay nagbiro ako nang kaunti sa espirituwal na kagalakan na ito, ngunit ang heksagono ay isang magandang pigura. Mula dito maaari kang gumawa ng isang medyo matagumpay na aparato sa pag-encrypt. Makakatulong ang geometry. Ang hexagon ay may rotational symmetry - ito ay nagsasapawan sa sarili nito kapag pinaikot ng multiple na 60 degrees. Ang field ay minarkahan, halimbawa, ng titik A sa kaliwang itaas fig. 1 pagkatapos bumaling sa anggulong ito, mahuhulog din ito sa kahon A - at ganoon din sa iba pang mga titik. Kaya't gupitin natin ang anim na parisukat mula sa grid, bawat isa ay may ibang letra. Inilalagay namin ang grid na nakuha sa ganitong paraan sa isang sheet ng papel. Sa libreng anim na field, magpasok ng anim na letra ng text na gusto naming i-encrypt. Iikot natin ang sheet ng 60 degrees. Anim na bagong field ang lalabas - ilagay ang susunod na anim na letra ng aming mensahe.

kanin. 1. Trlinks ng kagalakan ng matematika.

Sa kanan fig. 1 mayroon kaming text na naka-encode sa ganitong paraan: "May malaking heavy steam locomotive sa istasyon."

Ngayon ang isang maliit na matematika sa paaralan ay magagamit. Sa ilang paraan maaaring ayusin ang dalawang numero na may kaugnayan sa isa't isa?

Anong katangahan na tanong? Para sa dalawa: alinman sa isa sa harap o sa isa pa.

ayos lang. At tatlong numero?

Hindi rin mahirap ilista ang lahat ng mga setting:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Well, ito ay para sa apat! Maaari pa rin itong malinaw na nabaybay. Hulaan ang order rule na inilagay ko:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Kapag ang mga digit ay lima, makakakuha tayo ng 120 posibleng mga setting. Tawagan natin sila permutasyon. Ang bilang ng mga posibleng permutasyon ng n numero ay ang produkto 1 2 3 ... n, na tinatawag malakas at minarkahan ng tandang padamdam: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Para sa susunod na numero 6 mayroon kaming 6!=720. Gagamitin namin ito para gawing mas kumplikado ang aming hexagonal cipher shield.

Pinipili namin ang isang permutation ng mga numero mula 0 hanggang 5, halimbawa 351042. Ang aming hexagonal scrambling disk ay may gitling sa gitnang patlang - upang ito ay mailagay "sa zero na posisyon" - isang gitling pataas, tulad ng sa fig. 1. Inilalagay namin ang disk sa ganitong paraan sa isang sheet ng papel kung saan kailangan naming isulat ang aming ulat, ngunit hindi namin ito isusulat kaagad, ngunit i-on ito ng tatlong beses ng 60 degrees (ie 180 degrees) at magpasok ng anim na letra sa ang walang laman na mga patlang. Bumalik kami sa panimulang posisyon. Pinihit namin ang dial ng limang beses ng 60 degrees, iyon ay, sa pamamagitan ng limang "ngipin" ng aming dial. Nagpi-print kami. Ang susunod na posisyon ng scale ay ang posisyon na pinaikot 60 degrees sa paligid ng zero. Ang ikaapat na posisyon ay 0 degrees, ito ang panimulang posisyon.

Naiintindihan mo ba ang nangyari? Mayroon kaming karagdagang pagkakataon - upang gawing kumplikado ang aming "makina" ng higit sa pitong daang beses! Kaya, mayroon kaming dalawang independiyenteng posisyon ng "automaton" - ang pagpili ng grid at ang pagpili ng permutation. Maaaring piliin ang grid sa 66 = 46656 na paraan, permutation 720. Nagbibigay ito ng 33592320 na posibilidad. Higit sa 33 milyong cipher! Halos kaunti lang, kasi ang ilang mga grids ay hindi maaaring gupitin sa papel.

Sa ibabang bahagi fig. 1 mayroon kaming mensaheng naka-code na ganito: "I am sending you four parachute divisions." Madaling maunawaan na ang kaaway ay hindi dapat pahintulutang malaman ang tungkol dito. Ngunit maiintindihan ba niya ang alinman sa mga ito:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYLOAKVMDEYCHESH,

kahit may signature 351042?

Gumagawa kami ng Enigma, isang German cipher machine

kanin. 2. Isang halimbawa ng paunang setup ng aming encryption machine.

Mga Permutasyon (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Tulad ng nabanggit ko na, utang ko ang ideya ng paglikha ng tulad ng isang karton na makina sa aklat na "Lab in a Drawer - Mathematics". Ang aking "konstruksyon" ay medyo naiiba sa ibinigay ng mga may-akda nito.

Ang cipher machine na ginamit ng mga German sa panahon ng digmaan ay may isang napaka-simpleng prinsipyo, medyo katulad ng nakita natin na may hex cipher. Sa bawat oras ang parehong bagay: masira ang mahirap na pagtatalaga ng isang liham sa isa pang liham. Dapat itong palitan. Paano ito gagawin upang magkaroon ng kontrol dito?

Piliin natin hindi ang anumang permutasyon, ngunit ang isa na may mga cycle ng haba 2. Sa madaling salita, tulad ng "Gaderipoluk" na inilarawan dito ilang buwan na ang nakakaraan, ngunit sumasaklaw sa lahat ng mga titik ng alpabeto. Magkasundo tayo sa 24 na letra - walang ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Gaano karaming mga permutasyon? Ito ay isang gawain para sa mga nagtapos ng mataas na paaralan (dapat nilang malutas ito kaagad). Ilan? marami? Ilang libo? oo:

1912098225024001185793365052108800000000 (huwag na nating subukang basahin ang numerong ito). Napakaraming posibilidad na itakda ang posisyong "zero". At maaari itong maging mahirap.

Ang aming makina ay binubuo ng dalawang bilog na disc. Sa isa sa kanila, na nakatayo pa rin, may nakasulat na mga titik. Ito ay medyo katulad ng dial ng isang lumang telepono, kung saan nag-dial ka ng isang numero sa pamamagitan ng pagpihit ng dial sa lahat ng paraan. Ang Rotary ay ang pangalawa na may scheme ng kulay. Ang pinakamadaling paraan ay ilagay ang mga ito sa isang regular na tapunan gamit ang isang pin. Sa halip na tapunan, maaari kang gumamit ng manipis na tabla o makapal na karton. Inirerekomenda ni Lukasz Badowski at Zasław Adamaszek na ilagay ang parehong mga disc sa isang CD box.

Isipin na gusto naming i-encode ang salitang ARMATI (kanin. 2 at 3). Itakda ang device sa zero na posisyon (arrow pataas). Ang letrang A ay tumutugma sa F. I-rotate ang internal circuit ng isang letra sa kanan. Mayroon kaming letrang R upang i-encode, ngayon ay tumutugma ito sa A. Pagkatapos ng susunod na pag-ikot, nakita namin na ang titik M ay tumutugma sa U. Ang susunod na pag-ikot (ika-apat na diagram) ay nagbibigay ng sulat A - P. Sa ikalimang dial mayroon kaming T - A. Sa wakas (ikaanim na bilog ) Y – Y Malamang na hindi hulaan ng kalaban na ang ating mga CFCFA ay magiging mapanganib para sa kanya. At paano babasahin ng “atin” ang dispatch? Dapat silang magkaroon ng parehong makina, ang parehong "naka-program", iyon ay, na may parehong permutasyon. Nagsisimula ang cipher sa posisyong zero. Kaya ang halaga ng F ay A. I-on ang dial clockwise. Ang letrang A ay nauugnay na ngayon sa R. Iniikot niya ang dial sa kanan at sa ilalim ng letrang U ay nahanap ang M, atbp. Ang klerk ng cipher ay tumakbo sa heneral: "Heneral, nag-uulat ako, darating ang mga baril!"

kanin. 3. Ang prinsipyo ng pagpapatakbo ng aming papel na Enigma.

kanin. 3. Ang prinsipyo ng pagpapatakbo ng aming papel na Enigma.

Ang mga posibilidad ng kahit na tulad ng isang primitive Enigma ay kamangha-manghang. Maaari tayong pumili ng iba pang mga permutasyon ng output. Magagawa natin - at mayroong higit pang mga pagkakataon dito - hindi sa pamamagitan ng isang "serif" na regular, ngunit sa isang tiyak, araw-araw na pagbabago ng pagkakasunud-sunod, katulad ng isang hexagon (halimbawa, unang tatlong titik, pagkatapos pito, pagkatapos walo, apat ... .. atbp.).

Paano mo mahulaan?! At gayon pa man para sa mga Polish na mathematician (Marian Reevski, Henryk Zigalski, Jerzy Ruzicki) nangyari. Napakahalaga ng impormasyong nakuha. Dati, mayroon silang parehong mahalagang kontribusyon sa kasaysayan ng ating depensa. Vaclav Serpinski i Stanislav Mazurkevichna lumabag sa code ng mga tropang Ruso noong 1920. Ang na-intercept na cable ay nagbigay kay Piłsudski ng pagkakataon na gawin ang sikat na maniobra mula sa Vepsz River.

Naaalala ko si Vaslav Sierpinski (1882-1969). Siya ay tila isang matematiko kung kanino ang labas ng mundo ay hindi umiiral. Hindi niya masabi ang tungkol sa kanyang pakikilahok sa tagumpay noong 1920 kapwa para sa militar at ... para sa mga kadahilanang pampulitika (hindi nagustuhan ng mga awtoridad ng Polish People's Republic ang mga nagtanggol sa amin mula sa Unyong Sobyet).

kanin. 4. Permutation (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

kanin. 5. Magandang palamuti, ngunit hindi angkop para sa pag-encrypt. Masyadong regular.

1 trabaho. Na fig. 4 mayroon kang isa pang permutasyon upang lumikha ng Enigma. Kopyahin ang drawing sa xerograph. Gumawa ng kotse, i-code ang iyong pangalan at apelyido. Aking CWONUE JTRYGT. Kung kailangan mong panatilihing pribado ang iyong mga tala, gamitin ang Cardboard Enigma.

2 trabaho. I-encrypt ang iyong pangalan at apelyido ng isa sa mga "kotse" na nakita mo, ngunit (pansin!) na may karagdagang komplikasyon: hindi kami lumiko kahit isang bingaw sa kanan, ngunit ayon sa scheme {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - iyon ay, una sa pamamagitan ng isa, pagkatapos ay sa pamamagitan ng dalawa, pagkatapos ay sa pamamagitan ng tatlo, pagkatapos ay sa pamamagitan ng 2, pagkatapos ay sa pamamagitan ng 1 muli, pagkatapos ay sa pamamagitan ng 2, atbp., tulad ng isang "wavelet" . Tiyaking naka-encrypt ang aking pangalan at apelyido bilang CZTTAK SDBITH. Ngayon naiintindihan mo na ba kung gaano kalakas ang makina ng Enigma?

Paglutas ng problema para sa mga nagtapos sa high school. Ilang mga pagpipilian sa pagsasaayos para sa Enigma (sa bersyong ito, tulad ng inilarawan sa artikulo)? Mayroon kaming 24 na titik. Pinipili namin ang unang pares ng mga titik - maaari itong gawin sa

mga paraan. Ang susunod na pares ay maaaring piliin sa

paraan, higit pa

atbp. Pagkatapos ng kaukulang mga kalkulasyon (lahat ng mga numero ay dapat na i-multiply), makuha namin

151476660579404160000

Pagkatapos ay hatiin ang numerong iyon sa 12! (12 factorial), dahil ang parehong mga pares ay maaaring makuha sa ibang pagkakasunud-sunod. Kaya sa huli ay nakukuha natin ang "kabuuan"

316234143225,

mahigit 300 bilyon lang iyon, na hindi mukhang napakalaking bilang para sa mga supercomputer ngayon. Gayunpaman, kung ang random na pagkakasunud-sunod ng mga permutasyon mismo ay isinasaalang-alang, ang bilang na ito ay tumataas nang malaki. Maaari din tayong mag-isip ng iba pang mga uri ng permutasyon.

Tingnan din ang: