KAYA KUNG KANINO, yan ay: SUBUKIN MO KUNG SAAN MAAARING - part 2

Sa nakaraang episode, nakipag-usap kami sa Sudoku, isang larong aritmetika kung saan ang mga numero ay karaniwang nakaayos sa iba't ibang mga diagram ayon sa ilang mga patakaran. Ang pinakakaraniwang variant ay isang 9×9 chessboard, bukod pa rito ay nahahati sa siyam na 3×3 cell. Ang mga numero mula 1 hanggang 9 ay dapat na itakda dito upang hindi sila maulit alinman sa isang patayong hilera (sinasabi ng mga mathematician: sa isang hanay) o sa isang pahalang na hilera (sinasabi ng mga mathematician: sa isang hilera) - at, bukod dito, upang hindi nila inuulit. ulitin sa loob ng anumang mas maliit na parisukat.

Na fig. 1 nakikita namin ang puzzle na ito sa isang mas simpleng bersyon, na isang 6 × 6 na parisukat na nahahati sa 2 × 3 na mga parihaba. Ipinapasok namin dito ang mga numero 1, 2, 3, 4, 5, 6 - upang hindi sila ulitin nang patayo, ni pahalang, o sa bawat isa sa mga napiling hexagons.

Subukan nating ipakita sa itaas na parisukat. Maaari mo bang punan ito ng mga numero mula 1 hanggang 6 ayon sa mga panuntunang itinakda para sa larong ito? Posible - ngunit hindi maliwanag. Tingnan natin - gumuhit ng isang parisukat sa kaliwa o isang parisukat sa kanan.

Masasabi nating hindi ito ang batayan ng palaisipan. Karaniwan naming ipinapalagay na ang isang palaisipan ay may isang solusyon. Ang gawain ng paghahanap ng iba't ibang mga base para sa "malaking" Sudoku, 9x9, ay isang mahirap na gawain at walang pagkakataon na ganap na malutas ito.

Ang isa pang mahalagang koneksyon ay ang magkasalungat na sistema. Ang ibabang gitnang parisukat (ang may numero 2 sa kanang sulok sa ibaba) ay hindi makukumpleto. Bakit?

Kasayahan at Retreats

Naglalaro kami. Gamitin natin ang intuwisyon ng mga bata. Naniniwala sila na ang entertainment ay isang panimula sa pag-aaral. Pumunta tayo sa kalawakan. nakabukas fig. 2 nakikita ng lahat ang grid tetrahedronmula sa mga bola, halimbawa, mga bola ng ping-pong? Alalahanin ang mga aralin sa geometry ng paaralan. Ang mga kulay sa kaliwang bahagi ng larawan ay nagpapaliwanag kung ano ang nakadikit sa pag-assemble ng bloke. Sa partikular, tatlong sulok (pula) na bola ang ididikit sa isa. Samakatuwid, dapat silang magkaparehong numero. Siguro 9. Bakit? At bakit hindi?

Oh hindi ko sinabi ito gawain. Ito ay parang ganito: posible bang isulat ang mga numero mula 0 hanggang 9 sa nakikitang grid upang ang bawat mukha ay naglalaman ng lahat ng mga numero? Ang gawain ay hindi mahirap, ngunit kung magkano ang kailangan mong isipin! Hindi ko sisirain ang kasiyahan ng mga mambabasa at hindi ako magbibigay ng solusyon.

Ito ay isang napakaganda at minamaliit na hugis. regular na octahedron, na binuo mula sa dalawang pyramids (=pyramids) na may square base. Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang octahedron ay may walong mukha.

Mayroong anim na vertices sa isang octahedron. Sumasalungat ito kubona may anim na mukha at walong vertex. Ang mga gilid ng parehong mga bukol ay pareho - labindalawang bawat isa. Ito dobleng solido - nangangahulugan ito na sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga sentro ng mga mukha ng kubo ay nakakakuha tayo ng isang octahedron, at ang mga sentro ng mga mukha ng octahedron ay magbibigay sa amin ng isang kubo. Parehong gumaganap ang mga bump na ito ("dahil kailangan nila") Formula ni Euler: Ang kabuuan ng bilang ng mga vertex at ang bilang ng mga mukha ay 2 higit pa kaysa sa bilang ng mga gilid.

3. Isang regular na octahedron sa parallel projection at isang octahedron lattice na binubuo ng mga sphere sa paraang ang bawat gilid ay may apat na sphere.

1 trabaho. Una, isulat ang huling pangungusap ng nakaraang talata gamit ang isang mathematical formula. Sa fig. 3 makikita mo ang isang octahedral grid, na binubuo rin ng mga sphere. Ang bawat gilid ay may apat na bola. Ang bawat mukha ay isang tatsulok ng sampung sphere. Ang problema ay itinakda nang nakapag-iisa: posible bang maglagay ng mga numero mula 0 hanggang 9 sa mga bilog ng grid upang pagkatapos ng gluing ng isang solidong katawan, ang bawat pader ay naglalaman ng lahat ng mga numero (sinusundan nito nang walang pag-uulit). Tulad ng dati, ang pinakamalaking kahirapan sa gawaing ito ay kung paano ang mesh ay nabago sa isang solidong katawan. Hindi ko maipaliwanag ito sa pamamagitan ng pagsulat, kaya hindi ko rin ibinibigay ang solusyon dito.

4. Dalawang icosahedron mula sa ping-pong balls. Pansinin ang iba't ibang scheme ng kulay.

na Plato (at nabuhay siya noong ika-XNUMX-XNUMX na siglo BC) alam ang lahat ng regular na polyhedra: tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron i icosahedron. Nakapagtataka kung paano siya nakarating doon - walang lapis, walang papel, walang panulat, walang libro, walang smartphone, walang internet! Hindi ko pag-uusapan ang tungkol sa dodecahedron dito. Ngunit ang icosahedral sudoku ay kawili-wili. Nakikita namin ang bukol na ito paglalarawan 4at ang network nito fig. 5.

5. Regular na mesh ng icosahedron.

Tulad ng dati, hindi ito isang grid sa kahulugan kung saan naaalala natin (?!) mula sa paaralan, ngunit isang paraan ng pagdikit ng mga tatsulok mula sa mga bola (bola).

2 trabaho. Ilang bola ang kailangan upang makabuo ng gayong icosahedron? Totoo pa rin ba ang sumusunod na pangangatwiran: dahil ang bawat mukha ay isang tatsulok, kung magkakaroon ng 20 mga mukha, kung gayon kasing dami ng 60 sphere ang kailangan?

6. Grid ng isang icosahedron mula sa mga sphere. Ang bawat bilog ay, halimbawa, isang ping-pong ball, ngunit ang pagbuo ng mga bilog sa mga bilog na minarkahan ng parehong kulay ay nagsasama sa isa. Kaya mayroon kaming labindalawang sphere (= labindalawang vertices: pula, asul, lila, asul at walong dilaw).

Madaling makita na ang tatlong numero sa icosahedron ay hindi sapat. Mas tiyak: imposibleng magbilang ng mga vertice na may mga numero 1, 2, 3 upang ang bawat (tatsulok) na mukha ay may tatlong numerong ito at walang mga pag-uulit. Posible ba sa apat na numero? Yes ito ay posible! Tignan natin kanin. 6 at 7.

7. Narito kung paano bilangin ang mga sphere na bumubuo sa icosahedron upang ang bawat mukha ay naglalaman ng mga numero maliban sa 1, 2, 3, 4. Alin sa mga katawan sa fig. 4 ba ang kulay nito?

3 trabaho. Tatlo sa apat na numero ay maaaring piliin sa apat na paraan: 123, 124, 134, 234. Humanap ng limang ganoong tatsulok sa icosahedron sa fig. 7 (pati na rin mula sa mga ilustrasyon isa).

Ehersisyo 4 (nangangailangan ng napakahusay na spatial na imahinasyon). Ang icosahedron ay may labindalawang vertices, na nangangahulugang maaari itong idikit mula sa labindalawang bola (fig. 7). Tandaan na mayroong tatlong vertex (=mga bola) na may label na 1, tatlo na may 2, at iba pa. Kaya, ang mga bola ng parehong kulay ay bumubuo ng isang tatsulok. Ano ang tatsulok na ito? Baka equilateral? Tingnan mo ulit mga ilustrasyon isa.

Ang susunod na gawain para sa lolo / lola at apo / apo. Sa wakas ay masusubok din ng mga magulang ang kanilang kamay, ngunit kailangan nila ng pasensya at oras.

5 trabaho. Bumili ng labindalawang (mas mainam na 24) na bola ng ping-pong, mga apat na kulay ng pintura, isang brush, at tamang pandikit - Hindi ko inirerekomenda ang mga mabilis na tulad ng Superglue o Droplet dahil masyadong mabilis itong natuyo at mapanganib para sa mga bata. Idikit sa icosahedron. Bihisan ang iyong apo ng T-shirt na huhugasan (o itatapon) kaagad pagkatapos. Takpan ang mesa ng foil (mas mabuti ang pahayagan). Maingat na kulayan ang icosahedron na may apat na kulay 1, 2, 3, 4, tulad ng ipinapakita sa fig. fig. 7. Maaari mong baguhin ang pagkakasunud-sunod - unang kulayan ang mga lobo at pagkatapos ay idikit ang mga ito. Kasabay nito, ang mga maliliit na bilog ay dapat iwanang hindi pininturahan upang ang pintura ay hindi dumikit sa pintura.

Ngayon ang pinakamahirap na gawain (mas tiyak, ang kanilang buong pagkakasunud-sunod).

Ehersisyo 6 (Higit na partikular, ang pangkalahatang tema). I-plot ang icosahedron bilang isang tetrahedron at isang octahedron sa kanin. 2 at 3 Nangangahulugan ito na dapat mayroong apat na bola sa bawat gilid. Sa variant na ito, ang gawain ay parehong oras-ubos at kahit na magastos. Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-alam kung ilang bola ang kailangan mo. Ang bawat mukha ay may sampung sphere, kaya ang icosahedron ay nangangailangan ng dalawang daan? Hindi! Dapat nating tandaan na maraming bola ang ibinabahagi. Ilang gilid mayroon ang isang icosahedron? Maaari itong maingat na kalkulahin, ngunit para saan ang formula ng Euler?

w–k+s=2

kung saan ang w, k, s ay ang bilang ng mga vertices, mga gilid, at mga mukha, ayon sa pagkakabanggit. Naaalala namin na w = 12, s = 20, na nangangahulugang k = 30. Mayroon kaming 30 gilid ng icosahedron. Maaari mong gawin ito nang iba, dahil kung mayroong 20 tatsulok, pagkatapos ay mayroon lamang silang 60 na mga gilid, ngunit dalawa sa kanila ay karaniwan.

Kalkulahin natin kung gaano karaming mga bola ang kailangan mo. Sa bawat tatsulok mayroon lamang isang panloob na bola - ni sa tuktok ng ating katawan, o sa gilid. Kaya, mayroon kaming kabuuang 20 tulad ng mga bola. Mayroong 12 peak. Ang bawat gilid ay may dalawang non-vertex na bola (nasa loob sila ng gilid, ngunit hindi sa loob ng mukha). Dahil mayroong 30 na mga gilid, mayroong 60 na mga marbles, ngunit dalawa sa kanila ay nakabahagi, ibig sabihin, kailangan mo lamang ng 30 na mga marbles, kaya kailangan mo ng kabuuang 20 + 12 + 30 = 62 na mga marbles. Maaaring mabili ang mga bola ng hindi bababa sa 50 pennies (karaniwang mas mahal). Kung idagdag mo ang halaga ng pandikit, ito ay lalabas ... marami. Ang magandang bonding ay nangangailangan ng ilang oras ng maingat na trabaho. Magkasama sila ay angkop para sa isang nakakarelaks na palipasan ng oras - Inirerekomenda ko sila sa halip na, halimbawa, manood ng TV.

Retreat 1. Sa serye ng pelikula ni Andrzej Wajda na Years, Days, dalawang lalaki ang naglalaro ng chess "dahil kailangan nilang magpalipas ng oras hanggang hapunan." Nagaganap ito sa Galician Krakow. Sa katunayan: ang mga pahayagan ay nabasa na (pagkatapos ay mayroon silang 4 na pahina), ang TV at telepono ay hindi pa naimbento, walang mga laban sa football. Inip sa mga puddles. Sa ganoong sitwasyon, ang mga tao ay nag-isip ng libangan para sa kanilang sarili. Ngayon ay mayroon kami ng mga ito pagkatapos pindutin ang remote control ...

Retreat 2. Sa 2019 meeting ng Association of Teachers of Mathematics, ipinakita ng isang propesor sa Espanya ang isang computer program na kayang magpinta ng mga solidong pader sa anumang kulay. Medyo creepy, kasi nagdrawing lang sila ng kamay, halos maputol ang katawan. Naisip ko sa aking sarili: gaano kasaya ang maaari mong makuha mula sa gayong "shading"? Ang lahat ay tumatagal ng dalawang minuto, at sa ikaapat ay wala na kaming maalala. Samantala, ang makalumang "karayom" ay nagpapakalma at nagtuturo. Sino ang hindi naniniwala, hayaan siyang subukan.

Bumalik tayo sa ika-XNUMX na siglo at sa ating mga katotohanan. Kung hindi namin nais ang pagpapahinga sa anyo ng matrabahong gluing ng mga bola, pagkatapos ay gumuhit kami ng hindi bababa sa isang grid ng isang icosahedron, ang mga gilid nito ay may apat na bola. Paano ito gagawin? I-chop ito ng tama fig. 6. Nahuhulaan na ng matulungin na mambabasa ang problema:

7 trabaho. Posible bang ibilang ang mga bola na may mga numero mula 0 hanggang 9 upang lumitaw ang lahat ng mga numerong ito sa bawat mukha ng naturang icosahedron?

Ano ang binabayaran sa amin?

Ngayon ay madalas nating itanong sa ating sarili ang layunin ng ating mga aktibidad, at ang "gray na nagbabayad ng buwis" ay magtatanong kung bakit dapat niyang bayaran ang mga mathematician upang malutas ang mga ganitong palaisipan?

Ang sagot ay medyo simple. Ang ganitong "mga palaisipan", na kawili-wili sa kanilang sarili, ay "isang fragment ng isang bagay na mas seryoso." Pagkatapos ng lahat, ang mga parada ng militar ay isang panlabas, kamangha-manghang bahagi lamang ng isang mahirap na serbisyo. Magbibigay lamang ako ng isang halimbawa, ngunit magsisimula ako sa isang kakaiba ngunit kinikilalang internasyonal na paksa sa matematika. Noong 1852, tinanong ng isang English student ang kanyang propesor kung posible bang kulayan ang mapa na may apat na kulay upang ang mga kalapit na bansa ay palaging ipinapakita sa iba't ibang kulay? Idagdag ko na hindi natin itinuturing na "kapitbahay" ang mga nagkikita sa isang punto lang, gaya ng mga estado ng Wyoming at Utah sa US. Hindi alam ng propesor... at mahigit isandaang taon nang naghihintay ng solusyon ang problema.

8. Icosahedron mula sa RECO blocks. Ipinapakita ng mga flash reflector kung ano ang pagkakatulad ng icosahedron sa tatsulok at pentagon. Limang tatsulok ang nagtatagpo sa bawat tuktok.

Nangyari ito sa hindi inaasahang paraan. Noong 1976, isang grupo ng mga Amerikanong mathematician ang sumulat ng isang programa upang malutas ang problemang ito (at nagpasya sila: oo, apat na kulay ay palaging sapat). Ito ang unang patunay ng isang mathematical fact na nakuha sa tulong ng isang "mathematical machine" - bilang isang computer ay tinatawag na kalahating siglo na ang nakalipas (at kahit na mas maaga: "electronic brain").

Narito ang isang espesyal na ipinakitang "mapa ng Europa" (fig. 9). Ang mga bansang iyon na may karaniwang hangganan ay konektado. Ang pagkulay sa mapa ay kapareho ng pagkulay sa mga bilog ng graph na ito (tinatawag na graph) upang walang konektadong mga bilog na magkapareho ang kulay. Ang isang pagtingin sa Liechtenstein, Belgium, France at Germany ay nagpapakita na ang tatlong kulay ay hindi sapat. Kung gusto mo, Reader, kulayan mo ito ng apat na kulay.

9. Sino ang hangganan ng kanino sa Europa?

Oo, ngunit sulit ba ang pera ng mga nagbabayad ng buwis? Kaya tingnan natin ang parehong graph nang medyo naiiba. Kalimutan na may mga estado at hangganan. Hayaang sumagisag ang mga bilog sa mga packet ng impormasyon na ipapadala mula sa isang punto patungo sa isa pa (halimbawa, mula P hanggang EST), at ang mga segment ay kumakatawan sa mga posibleng koneksyon, na ang bawat isa ay may sariling bandwidth. Ipadala sa lalong madaling panahon?

Una, tingnan natin ang isang napaka-pinasimple, ngunit napaka-kagiliw-giliw na sitwasyon mula sa isang mathematical na punto ng view. Kailangan nating magpadala ng isang bagay mula sa punto S (= bilang simula) hanggang sa puntong M (= tapusin) gamit ang isang network ng mga koneksyon na may parehong bandwidth, sabihin ang 1. Nakikita natin ito sa fig. 10.

10. Network ng mga koneksyon mula Statsyika Zdrój hanggang Megapolis.

Isipin natin na humigit-kumulang 89 piraso ng impormasyon ang kailangang ipadala mula S hanggang M. Gusto ng may-akda ng mga salitang ito ang mga problema tungkol sa mga tren, kaya naisip niya na siya ay isang manager sa Stacie Zdrój, kung saan kailangan niyang magpadala ng 144 na bagon. sa istasyon ng metropolis. Bakit eksaktong 144? Dahil, tulad ng makikita natin, ito ay gagamitin upang kalkulahin ang throughput ng buong network. Ang kapasidad ay 1 sa bawat lote, i.e. ang isang kotse ay maaaring dumaan sa bawat yunit ng oras (isang bit ng impormasyon, posibleng Gigabyte din).

Siguraduhin natin na ang lahat ng sasakyan ay magkakasabay sa M. Lahat ay makakarating doon sa loob ng 89 na yunit ng oras. Kung mayroon akong isang napakahalagang packet ng impormasyon mula S hanggang M na ipapadala, hinati-hati ko ito sa mga grupo ng 144 na yunit at itinutulak ito tulad ng nasa itaas. Ginagarantiyahan ng matematika na ito ang magiging pinakamabilis. Paano ko nalaman na kailangan mo ng 89? Hula ko talaga, pero kung hindi ako manghula, kailangan kong malaman ito Mga equation ng Kirchhoff (may naaalala ba? - ito ay mga equation na naglalarawan sa daloy ng kasalukuyang). Ang bandwidth ng network ay 184/89, na tinatayang katumbas ng 1,62.

Tungkol sa kagalakan

Oo nga pala, gusto ko ang numerong 144. Nagustuhan kong sumakay ng bus na may ganitong numero papunta sa Castle Square sa Warsaw - noong walang naibalik na Royal Castle sa tabi nito. Marahil alam ng mga batang mambabasa kung ano ang isang dosena. Iyon ay 12 kopya, ngunit ang mga matatandang mambabasa lamang ang nakakaalala na isang dosenang dosena, ibig sabihin. 122=144, ito ang tinatawag na lote. At lahat ng may alam sa matematika na higit pa sa kurikulum ng paaralan ay agad na mauunawaan iyon fig. 10 mayroon kaming mga numero ng Fibonacci at ang bandwidth ng network ay malapit sa "gintong numero"

Sa Fibonacci sequence, 144 ang tanging numero na perpektong parisukat. Ang isang daan at apatnapu't apat ay isa ring "joyful number." Ganyan ang isang Indian amateur mathematician Dattatreya Ramachandra Caprecar noong 1955, pinangalanan niya ang mga numerong nahahati sa kabuuan ng kanilang mga constituent digit:

Kung alam niya Adam Mickiewicz, tiyak na hindi niya isusulat sa Dzyady: “Mula sa isang kakaibang ina; ang kanyang dugo ay ang kanyang mga matandang bayani / At ang kanyang pangalan ay apatnapu't apat, higit na matikas: At ang kanyang pangalan ay isang daan at apatnapu't apat.

Seryosohin ang entertainment

Sana ay nakumbinsi ko ang mga mambabasa na ang mga Sudoku puzzle ay ang nakakatuwang bahagi ng mga tanong na tiyak na nararapat na seryosohin. Hindi ko na mapapaunlad pa ang paksang ito. Oh, buong pagkalkula ng bandwidth ng network mula sa diagram na ibinigay sa fig. 9 Ang pagsulat ng isang sistema ng mga equation ay aabot ng dalawa o higit pang oras - marahil kahit sampu-sampung segundo (!) ng computer work.