May kulay na mga parisukat at solar eclipses

Inilalarawan ng artikulo ang aking mga klase para sa mga estudyante sa middle school - mga may hawak ng iskolarsip ng National Children's Fund. Hinahanap ng foundation ang mga bata at kabataan na may talento (mula grade XNUMX ng elementarya hanggang high school) at nag-aalok ng "scholarships" sa mga piling estudyante. Gayunpaman, hindi sila binubuo sa lahat sa pag-withdraw ng pera, ngunit sa komprehensibong pangangalaga para sa pagpapaunlad ng talento, bilang panuntunan, sa loob ng maraming taon. Hindi tulad ng maraming iba pang mga proyekto ng ganitong uri, sineseryoso ng mga kilalang siyentipiko, cultural figure, prominenteng humanista at iba pang matatalinong tao, gayundin ng ilang pulitiko, ang mga ward ng Foundation.

Ang mga aktibidad ng Foundation ay umaabot sa lahat ng mga disiplina na pangunahing mga asignatura sa paaralan, maliban sa sports, kabilang ang sining. Ang pondo ay nilikha noong 1983 bilang isang antidote sa realidad noon. Kahit sino ay maaaring mag-aplay sa pondo (karaniwan ay sa pamamagitan ng isang paaralan, mas mabuti bago matapos ang taon ng pag-aaral), ngunit, siyempre, mayroong isang tiyak na salaan, isang tiyak na pamamaraan ng kwalipikasyon.

Tulad ng nabanggit ko na, ang artikulo ay batay sa aking mga master class, partikular sa Gdynia, noong Marso 2016, sa ika-24 na junior high school sa III high school. Hukbong-dagat. Sa loob ng maraming taon, ang mga seminar na ito ay inorganisa sa ilalim ng tangkilik ng Foundation ni Wojciech Thomalczyk, isang guro ng hindi pangkaraniwang charisma at mataas na antas ng intelektwal. Noong 2008, pumasok siya sa nangungunang sampung sa Poland, na iginawad sa titulong Propesor ng Pedagogy (na ibinigay ng batas maraming taon na ang nakalilipas). Mayroong bahagyang pagmamalabis sa pahayag na: "Ang edukasyon ay ang axis ng mundo".

at ang buwan ay palaging kaakit-akit - pagkatapos ay madarama mo na nakatira tayo sa isang maliit na planeta sa isang malaking espasyo, kung saan ang lahat ay gumagalaw, na sinusukat sa sentimetro at segundo. Medyo natatakot pa nga ako, pati na rin ang pananaw ng oras. Nalaman namin na ang susunod na kabuuang eclipse, na makikita mula sa lugar ng Warsaw ngayon, ay nasa ... 2681. I wonder kung sino ang makakakita nito? Ang maliwanag na laki ng Araw at Buwan sa ating kalangitan ay halos magkapareho - kaya naman napakaikli at napakaganda ng mga eklipse. Sa loob ng maraming siglo, sapat na dapat ang mga maikling minutong iyon para makita ng mga astronomo ang solar corona. Kakaiba na nangyayari ang mga ito dalawang beses sa isang taon... ngunit nangangahulugan lamang iyon na sa isang lugar sa Earth ay makikita sila sa maikling panahon. Bilang resulta ng tidal movements, ang Buwan ay lumalayo sa Earth - sa loob ng 260 milyong taon ay magiging napakalayo nito na tayo (tayo???) ay makakakita lamang ng mga annular eclipse.

Malamang ang unang manghula eklipse, ay si Thales ng Miletus (28-585 siglo BC). Malamang na hindi natin malalaman kung ito ba talaga ang nangyari, iyon ay, kung hinulaan niya ito, dahil ang katotohanan na ang eklipse sa Asia Minor ay naganap noong Mayo 567, 566 BC ay isang katotohanang kinumpirma ng mga modernong kalkulasyon. Siyempre, binanggit ko ang data para sa account ng oras ngayon. Noong bata ako, naisip ko kung paano nagbibilang ng taon ang mga tao. Kaya ito, halimbawa, XNUMX BC, ang Bisperas ng Bagong Taon ay darating at ang mga tao ay nagsasaya: mga XNUMX taon BC lamang! Tiyak na tuwang-tuwa sila nang sa wakas ay dumating ang “panahon natin”! Napakalaking pagliko ng millennia na naranasan natin ilang taon na ang nakalipas!

Ang Math ng Pagkalkula ng Mga Petsa at Saklaw mga eclipse, ay hindi partikular na kumplikado, ngunit puno ng lahat ng uri ng mga salik na nauugnay sa pagiging regular at, mas masahol pa, sa hindi pantay na paggalaw ng katawan sa mga orbit. Gusto ko pang malaman ang math na ito. Paano magagawa ni Thales ng Miletus ang mga kinakailangang kalkulasyon? Simple lang ang sagot. Dapat may sky map ka. Paano gumawa ng gayong mapa? Hindi rin ito mahirap, alam ng mga sinaunang Ehipto kung paano ito gagawin. Sa hatinggabi, dalawang pari ang lumabas sa bubong ng templo. Ang bawat isa sa kanila ay umupo at iginuhit ang kanyang nakikita (tulad ng kanyang kasamahan). Pagkatapos ng dalawang libong taon, alam natin ang lahat tungkol sa paggalaw ng mga planeta ...

Magandang geometry, o masaya sa "rug"

Hindi gusto ng mga Greek ang mga numero, ginamit nila ang geometry. Ito ang gagawin natin. Ang aming eklipse sila ay magiging simple, makulay, ngunit kasing kawili-wili at totoo. Tinatanggap namin ang kumbensyon na ang asul na pigura ay gumagalaw sa paraang ito ay lumalampas sa pula. Tawagin natin ang asul na pigura na buwan, at ang pulang pigura ay araw. Itatanong namin sa aming sarili ang mga sumusunod na katanungan:

1. gaano katagal ang isang eclipse;
2. kapag ang kalahati ng target ay sakop;

   kanin. 1 Maraming kulay na "karpet" na may araw at buwan

3. ano ang pinakamataas na saklaw;
4. posible bang pag-aralan ang pag-asa ng saklaw ng kalasag sa oras? Sa artikulong ito (nalilimitahan ako sa dami ng teksto) tututok ako sa pangalawang tanong. Sa likod nito ay isang magandang geometry, marahil nang walang pagbubutas na mga kalkulasyon. Tingnan natin ang fig. 1. Maaari bang ipagpalagay na ito ay maiuugnay sa ... isang solar eclipse?

Dapat kong matapat na sabihin na ang mga gawain na aking tatalakayin ay espesyal na pipiliin, na iangkop sa kaalaman at kasanayan ng mga mag-aaral sa middle at high school. Ngunit nagsasanay kami sa gayong mga gawain habang ang mga musikero ay naglalaro ng mga kaliskis, at ang mga atleta ay gumagawa ng mga pangkalahatang pagsasanay sa pag-unlad. At saka, hindi ba ito ay isang magandang alpombra (fig. 1)?

kanin. 2 "Blue" Moon at "Red" Sun

Ang ating mga celestial na katawan, sa simula man lang, ay magiging may kulay na mga parisukat. Ang buwan ay bughaw, ang araw ay pula (pinakamahusay para sa pangkulay). kasama ang kasalukuyan eklipse Hinahabol ng buwan ang araw sa kalangitan, naabutan ... at isinara ito. Magiging ganoon din sa atin. Ang pinakasimpleng kaso, kapag ang Buwan ay gumagalaw na may kaugnayan sa Araw, tulad ng ipinapakita sa Fig. 2. Nagsisimula ang eclipse kapag ang gilid ng disk ng Buwan ay dumampi sa gilid ng disk ng Araw (Larawan 2) at nagtatapos kapag lumampas ito.

kanin. 3 Ang buwan ay lumalapit sa araw nang pahilis

Ipinapalagay namin na ang "Moon" ay gumagalaw ng isang cell bawat yunit ng oras, halimbawa, bawat minuto. Ang eclipse pagkatapos ay tumatagal ng walong yunit ng oras, sabihing minuto. kalahati mga solar eclipses ganap na dimmed Ang kalahati ng dial ay sarado nang dalawang beses: pagkatapos ng 2 at 6 na minuto. Ang porsyento ng obscuration graph ay simple. Sa unang dalawang minuto, ang kalasag ay nagsasara nang pantay-pantay sa bilis na zero hanggang 1, sa susunod na dalawang minuto ay nalantad ito sa parehong bilis.

Narito ang isang mas kawili-wiling halimbawa (Larawan 3). Ang buwan ay lumalapit sa araw nang pahilis. Ayon sa aming kasunduan sa pagbabayad bawat minuto, ang eclipse ay tumatagal ng 8√2 minuto - sa kalagitnaan ng oras na ito mayroon tayong kabuuang eclipse. Kalkulahin natin kung anong bahagi ng araw ang natatakpan pagkatapos ng oras t (Larawan 3). Kung lumipas ang t minuto mula noong simula ng eklipse, at bilang resulta ang Buwan ay tulad ng ipinapakita sa Fig. 5, pagkatapos (pansin!) Samakatuwid, ito ay sakop (ang lugar ng parisukat na APQR), katumbas ng kalahati ng solar disk; samakatuwid, ito ay sakop kapag, i.e. pagkatapos ng 4 na minuto (pagkatapos ay 4 na minuto bago matapos ang eclipse).

kanin. 4 Graph ng function na "shading".

Kabuuan tumatagal ng isang sandali (t = 4√2), at ang graph ng function na "shaded part" ay binubuo ng dalawang arc ng parabolas (Fig. 4).

Ang aming asul na buwan ay hahawakan ang sulok na may pulang araw, ngunit ito ay tatatakpan ito, hindi pupunta sa pahilis, ngunit bahagyang pahilis. Ang kawili-wiling geometry ay lilitaw kapag ginagawa namin nang kaunti ang paggalaw (Larawan 6). Ang direksyon ng paggalaw ay vector na ngayon [4,3], iyon ay, "apat na mga cell sa kanan, tatlong mga cell pataas." Ang posisyon ng Araw ay tulad na ang eclipse ay nagsisimula (posisyon A) kapag ang mga gilid ng "celestial body" ay nagtatagpo sa isang-kapat ng kanilang haba. Kapag ang Buwan ay lumipat sa posisyon B, ito ay maglalaho ng ikaanim na bahagi ng Araw, at sa posisyon C ito ay maglalaho ng kalahati. Sa posisyon D, mayroon tayong kabuuang eclipse, at pagkatapos ay bumalik ang lahat, "gaya noon."

kanin. 5 Bahagi ng Araw na nakatago sa panahon t

Ang eclipse ay nagtatapos kapag ang Buwan ay nasa posisyon G. Ito ay tumagal nang kasingtagal haba ng seksyon AG. Kung, tulad ng dati, kinukuha natin bilang isang yunit ng oras ang oras kung saan ang Buwan ay dumadaan sa "isang parisukat", kung gayon ang haba ng AG ay pantay. Kung babalikan natin ang lumang convention na ang ating celestial bodies ay 4 by 4, iba ang magiging resulta (ano?). Dahil madaling ipakita, ang target ay nagsasara pagkatapos ng t < 15. Ang graph ng function na "porsyento ng saklaw ng screen" ay makikita sa fig. 6.

kanin. 6 Graph ng function na "percent protection".

Eclipse at jump equation

kanin. 7 Pagbara ng solar disk sa panahon ng eclipse na ipinapakita sa fig. 6

Ang problema ng eclipses ay hindi kumpleto kung hindi natin isasaalang-alang ang kaso ng mga bilog. Ito ay mas kumplikado, ngunit subukan nating malaman kung ang isang bilog ay lumalampas sa kalahati ng isa pa - at sa pinakasimpleng kaso, kapag ang isa sa kanila ay gumagalaw sa diameter na nagkokonekta sa kanilang dalawa. Ang pagguhit ay pamilyar sa mga may hawak ng ilang credit card.

Ang pagkalkula ng posisyon ng mga patlang ay kumplikado, dahil nangangailangan ito, una, kaalaman sa pormula para sa lugar ng isang pabilog na segment, pangalawa, kaalaman sa arko ng anggulo, at pangatlo (at pinakamasama sa lahat), ang kakayahan upang malutas ang isang tiyak na jump equation. Hindi ko ipapaliwanag kung ano ang isang "transitive equation", tingnan natin ang isang halimbawa (Larawan 8).

kanin. 8 "Spherical" eclipse

Ang isang pabilog na seksyon ay ang "mangkok" na nananatili pagkatapos putulin ang isang bilog na may tuwid na linya. Ang lugar ng naturang segment ay S = 1/2r²(φ-sinφ), kung saan ang r ay ang radius ng bilog, at ang φ ay ang gitnang anggulo kung saan nakapatong ang segment (Larawan 8). Ito ay madaling makuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng lugar ng tatsulok mula sa lugar ng pabilog na sektor.

Episode O₁O₂ (ang distansya sa pagitan ng mga sentro ng mga bilog) ay katumbas ng 2rcosφ/2, at ang taas (lapad, “waistline”) h = 2rsinφ/2. Kaya, kung gusto nating kalkulahin kung kailan sasakupin ng Buwan ang kalahati ng solar disk, kailangan nating lutasin ang equation: na, pagkatapos ng pagpapasimple, ay nagiging:

kanin. 9 Mga graph ng dalawang function

Ang solusyon ng naturang mga equation ay higit pa sa simpleng algebra - ang equation ay naglalaman ng parehong mga anggulo at ang kanilang mga trigonometric function. Ang equation ay lampas sa abot ng mga tradisyonal na pamamaraan. Iyon ang dahilan kung bakit ito tinawag tumalon. Tingnan muna natin ang mga graph ng parehong function, i.e. function at function. Mababasa natin ang tinatayang solusyon mula sa figure na ito. Gayunpaman, maaari tayong makakuha ng umuulit na pagtatantya o… gamitin ang opsyong Solver sa Excel spreadsheet. Dapat magawa ito ng bawat mag-aaral sa high school, dahil ika-20 siglo na. Gumamit ako ng mas sopistikadong Mathematica tool at narito ang aming solusyon sa XNUMX decimal na lugar ng hindi kinakailangang katumpakan:

SetPrecision [FindRoot [x == Sin [x] + Pi / 2, {x, 2}], 20] {x⇒2.3098814600100574523}.

kanin. 10 Animation ng eclipse sa matematica

Ginagawa namin ito sa mga degree sa pamamagitan ng pagpaparami ng 180/π. Nakukuha namin ang 132 degrees, 20 minuto, 45 at isang quarter ng isang arko segundo. Kinakalkula namin na ang distansya sa gitna ng bilog ay O₁O₂ = 0,808 radius, at "baywang" 2,310.