baligtad na alindog

Maraming pinag-uusapan ang tungkol sa "charm of opposites", at hindi lamang sa matematika. Tandaan na ang mga magkasalungat na numero ay yaong naiiba lamang sa sign: plus 7 at minus 7. Ang kabuuan ng magkasalungat na numero ay zero. Ngunit para sa amin (i.e. mga mathematician) ang mga kapalit ay mas kawili-wili. Kung ang produkto ng mga numero ay katumbas ng 1, ang mga numerong ito ay kabaligtaran sa bawat isa. Ang bawat numero ay may kabaligtaran, bawat hindi zero na numero ay may kabaligtaran. Ang kapalit ng kapalit ay ang binhi.

Ang isang pagbabaligtad ay nangyayari kung saan ang dalawang dami ay nauugnay sa isa't isa upang kung ang isa ay tumaas, ang isa ay bumaba sa isang kaukulang rate. Ang ibig sabihin ng "kaugnay" ay hindi nagbabago ang produkto ng mga dami na ito. Naaalala namin mula sa paaralan: ito ay isang kabaligtaran na proporsyon. Kung gusto kong makarating sa aking destinasyon nang dalawang beses nang mas mabilis (ibig sabihin, putulin ang oras sa kalahati), kailangan kong doblehin ang aking bilis. Kung ang dami ng isang selyadong sisidlan na may gas ay nabawasan ng n beses, ang presyon nito ay tataas ng n beses.

Sa elementarya na edukasyon, maingat nating tinutukoy ang pagkakaiba sa pagitan ng pagkakaiba at kamag-anak na paghahambing. "Magkano pa ba"? - "Ilang beses pa?"

Narito ang ilang aktibidad sa paaralan:

1 trabaho. Sa dalawang positibong halaga, ang una ay 5 beses na mas malaki kaysa sa pangalawa at sa parehong oras ay 5 beses na mas malaki kaysa sa una. Ano ang mga sukat?

2 trabaho. Kung ang isang numero ay 3 mas malaki kaysa sa pangalawa, at ang pangalawa ay 2 mas malaki kaysa sa pangatlo, gaano kalaki ang unang numero kaysa sa pangatlo? Kung ang unang positibong numero ay dalawang beses sa pangalawa, at ang unang numero ay tatlong beses sa pangatlo, gaano karaming beses ang unang numero na mas malaki kaysa sa pangatlo?

3 trabaho. Sa gawain 2, natural na mga numero lamang ang pinapayagan. Posible ba ang gayong kaayusan gaya ng inilarawan doon?

4 trabaho. Sa dalawang positibong halaga, ang una ay 5 beses ang pangalawa, at ang pangalawa ay 5 beses ang una. pwede ba?

Ang konsepto ng "average" o "average" ay tila napakasimple. Kung nagbibisikleta ako ng 55 km sa Lunes, 45 km sa Martes, at 80 km sa Miyerkules, sa karaniwan ay nagbibisikleta ako ng 60 km bawat araw. Buong puso kaming sumasang-ayon sa mga kalkulasyong ito, kahit na medyo kakaiba dahil hindi ako nakapagmaneho ng 60 km sa isang araw. Madali naming tinatanggap ang mga bahagi ng isang tao: kung dalawang daang tao ang bumisita sa isang restaurant sa loob ng anim na araw, kung gayon ang average na pang-araw-araw na rate ay 33 at isang ikatlong tao. HM!

May mga problema lamang sa average na laki. Gusto ko ang pagbibisikleta. Kaya sinamantala ko ang alok ng travel agency na "Let's go with us" - naghahatid sila ng mga bagahe sa hotel, kung saan ang kliyente ay sumasakay ng bisikleta para sa mga layuning pang-libangan. Noong Biyernes ay nagmaneho ako ng apat na oras: ang unang dalawa sa bilis na 24 km bawat oras. Pagkatapos ay napagod ako na para sa susunod na dalawa sa bilis na 16 lamang kada oras. Ano ang aking average na bilis? Siyempre (24+16)/2=20km=20km/h.

Noong Sabado, gayunpaman, ang mga bagahe ay naiwan sa hotel, at pumunta ako upang makita ang mga guho ng kastilyo, na 24 km ang layo, at nang makita ko ang mga ito, bumalik ako. Nagmaneho ako ng isang oras sa isang direksyon, bumalik nang mas mabagal, sa bilis na 16 km bawat oras. Ano ang aking average na bilis sa ruta ng hotel-castle-hotel? 20 km kada oras? Syempre hindi. Pagkatapos ng lahat, nagmaneho ako ng kabuuang 48 km at inabot ako ng isang oras (“doon”) at isang oras at kalahating pabalik. 48 km sa loob ng dalawa't kalahating oras, i.e. oras 48/2,5=192/10=19,2 km! Sa sitwasyong ito, ang average na bilis ay hindi ang arithmetic mean, ngunit ang harmonic ng mga ibinigay na halaga:

at ang dalawang-kuwento na pormula na ito ay mababasa tulad ng sumusunod: ang harmonic mean ng positive numbers ay ang reciprocal ng arithmetic mean ng kanilang reciprocal. Ang kapalit ng kabuuan ng mga katumbas ay lumilitaw sa maraming mga koro ng mga takdang-aralin sa paaralan: kung ang isang manggagawa ay naghuhukay ng mga oras, ang isa pa - b oras, pagkatapos, nagtutulungan, sila ay naghuhukay sa oras. pool ng tubig (isa bawat oras, ang isa sa b oras). Kung ang isang risistor ay may R1 at ang isa ay may R2, kung gayon mayroon silang isang parallel na pagtutol. 

Kung malulutas ng isang computer ang isang problema sa loob ng ilang segundo, ang isa pang computer sa loob ng b segundo, pagkatapos ay kapag nagtutulungan sila...

Tumigil ka! Dito nagtatapos ang pagkakatulad, dahil ang lahat ay nakasalalay sa bilis ng network: ang kahusayan ng mga koneksyon. Maaari ding hadlangan o tulungan ng mga manggagawa ang isa't isa. Kung ang isang tao ay makakapaghukay ng balon sa loob ng walong oras, magagawa ba ito ng walumpung manggagawa sa 1/10 ng isang oras (o 6 na minuto)? Kung dadalhin ng anim na porter ang piano sa unang palapag sa loob ng 6 na minuto, gaano katagal ang isa sa kanila upang maihatid ang piano sa ikaanimnapung palapag? Ang kahangalan ng gayong mga problema ay nagdudulot sa isip ng limitadong kakayahang magamit ng lahat ng matematika sa mga problema "mula sa buhay".

Tungkol sa isang makapangyarihang nagbebenta 

Hindi na ginagamit ang mga timbangan. Alalahanin na ang isang bigat ay inilagay sa isang mangkok ng naturang mga timbangan, at ang mga kalakal na tinitimbang ay inilagay sa isa pa, at kapag ang timbang ay nasa balanse, ang mga kalakal ay tumitimbang ng kasing dami ng timbang. Siyempre, ang parehong mga braso ng pagkarga ng timbang ay dapat na magkapareho ang haba, kung hindi, ang pagtimbang ay magiging mali.

Oh tama. Isipin ang isang tindero na may timbang na may hindi pantay na pagkilos. Gayunpaman, nais niyang maging tapat sa mga customer at timbangin ang mga kalakal sa dalawang batch. Una, inilalagay niya ang isang timbang sa isang kawali, at sa kabilang banda ay isang katumbas na halaga ng mga kalakal - upang ang mga kaliskis ay nasa balanse. Pagkatapos ay tinitimbang niya ang pangalawang "kalahati" ng mga kalakal sa reverse order, iyon ay, inilalagay niya ang timbang sa pangalawang mangkok, at ang mga kalakal sa una. Dahil ang mga kamay ay hindi pantay, ang "kalahati" ay hindi kailanman pantay. At malinis ang budhi ng nagbebenta, at pinupuri ng mga mamimili ang kanyang katapatan: "Kung ano ang inalis ko dito, idinagdag ko."

Gayunpaman, tingnan natin ang pag-uugali ng isang nagbebenta na gustong maging tapat sa kabila ng walang katiyakan na timbang. Hayaang ang mga braso ng balanse ay may mga haba a at b. Kung ang isa sa mga mangkok ay nilagyan ng isang kilo na timbang at ang isa ay may x na mga kalakal, kung gayon ang mga timbangan ay nasa ekwilibriyo kung ax = b sa unang pagkakataon at bx = a sa pangalawang pagkakataon. Kaya, ang unang bahagi ng mga kalakal ay katumbas ng b / isang kilo, ang pangalawang bahagi ay a / b. Ang magandang timbang ay may a = b, kaya ang mamimili ay makakatanggap ng 2 kg ng mga kalakal. Tingnan natin kung ano ang mangyayari kapag a ≠ b. Pagkatapos a – b ≠ 0 at mula sa pinababang multiplication formula na mayroon tayo

Nakarating kami sa isang hindi inaasahang resulta: ang tila patas na paraan ng "pag-average" ng pagsukat sa kasong ito ay gumagana sa pakinabang ng mamimili, na tumatanggap ng mas maraming mga kalakal.

Ehersisyo 5. (Mahalaga, hindi sa matematika!). Ang isang lamok ay tumitimbang ng 2,5 milligrams, at ang isang elepante ay limang tonelada (ito ay medyo tamang data). Kalkulahin ang arithmetic mean, geometric mean, at harmonic mean ng lamok at elephant mass (weights). Suriin ang mga kalkulasyon at tingnan kung may kahulugan ang mga ito bukod sa mga pagsasanay sa aritmetika. Tingnan natin ang iba pang mga halimbawa ng mga kalkulasyon sa matematika na walang kahulugan sa "tunay na buhay". Tip: Tiningnan na namin ang isang halimbawa sa artikulong ito. Nangangahulugan ba ito na ang isang hindi kilalang estudyante na ang opinyon ay nakita ko sa Internet ay tama: "Niloloko ng Math ang mga tao gamit ang mga numero"?

Oo, sumasang-ayon ako na sa kadakilaan ng matematika, maaari mong "lokohin" ang mga tao - bawat ikalawang ad ng shampoo ay nagsasabi na pinatataas nito ang fluffiness ng ilang porsyento. Maghahanap ba tayo ng iba pang mga halimbawa ng mga kapaki-pakinabang na pang-araw-araw na tool na maaaring magamit para sa aktibidad na kriminal?

Grams!

Ang pamagat ng talatang ito ay isang pandiwa (unang tao na maramihan) hindi isang pangngalan (nominatibong maramihan ng isang ikalibo ng isang kilo). Ang pagkakaisa ay nagpapahiwatig ng kaayusan at musika. Para sa mga sinaunang Griyego, ang musika ay isang sangay ng agham - dapat tanggapin na kung sasabihin natin ito, inililipat natin ang kasalukuyang kahulugan ng salitang "agham" sa panahon bago ang ating panahon. Nabuhay si Pythagoras noong ika-XNUMX na siglo BC. Hindi lamang siya walang alam sa computer, mobile phone at email, ngunit hindi rin niya alam kung sino sina Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne at Cicero. Hindi niya alam ang alinman sa Arabic o kahit Romanong mga numero (ginamit ang mga ito noong ika-XNUMX siglo BC), hindi niya alam kung ano ang Punic Wars ... Ngunit alam niya ang musika ...

Alam niya na sa mga instrumentong may kuwerdas ang mga coefficient ng vibration ay inversely proportional sa haba ng vibrating na bahagi ng mga string. Alam niya, alam niya, hindi lang niya maipahayag ito sa paraang ginagawa natin ngayon.

Ang mga frequency ng dalawang string vibrations na bumubuo sa isang octave ay nasa 1:2 ratio, ibig sabihin, ang frequency ng mas mataas na note ay dalawang beses sa frequency ng lower one. Ang tamang ratio ng vibration para sa ikalima ay 2:3, pang-apat ay 3:4, purong major third ay 4:5, minor third ay 5:6. Ito ay mga kaaya-ayang agwat ng katinig. Pagkatapos ay mayroong dalawang neutral, na may vibration ratio na 6:7 at 7:8, pagkatapos ay dissonant - isang malaking tono (8:9), isang maliit na tono (9:10). Ang mga fraction na ito (mga ratios) ay tulad ng mga ratios ng sunud-sunod na miyembro ng isang sequence na tinatawag ng mga mathematician (sa mismong kadahilanang ito) sa harmonic series:

ay isang theoretically infinite sum. Ang ratio ng mga oscillations ng octave ay maaaring isulat bilang 2:4 at ilagay ang ikalimang pagitan ng mga ito: 2:3:4, ibig sabihin, hahatiin natin ang octave sa ikalima at ikaapat. Ito ay tinatawag na harmonic segment division sa matematika:

kanin. 1. Para sa isang musikero: paghahati ng octave AB sa ikalimang AC.Para sa Mathematician: Harmonic Segmentation

Ano ang ibig kong sabihin kapag nagsasalita ako (sa itaas) ng isang theoretically infinite sum, gaya ng harmonic series? Ito ay lumalabas na ang naturang kabuuan ay maaaring maging anumang malaking bilang, ang pangunahing bagay ay nagdaragdag kami ng mahabang panahon. Paunti-unti ang mga sangkap, ngunit mas marami ang mga ito. Ano ang nangingibabaw? Dito tayo pumasok sa larangan ng mathematical analysis. Ito ay lumiliko na ang mga sangkap ay naubos, ngunit hindi masyadong mabilis. Ipapakita ko na sa pamamagitan ng pagkuha ng sapat na mga sangkap, mabubuod ko:

arbitraryong malaki. Kunin natin ang "halimbawa" n = 1024. Ipangkat natin ang mga salita tulad ng ipinapakita sa figure:

Sa bawat panaklong, ang bawat salita ay mas malaki kaysa sa nauna, maliban, siyempre, ang huli, na katumbas ng sarili nito. Sa mga sumusunod na bracket, mayroon kaming 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 at 512 na bahagi; ang halaga ng kabuuan sa bawat panaklong ay higit sa ½. Ang lahat ng ito ay higit sa 5½. Ang mas tumpak na mga kalkulasyon ay magpapakita na ang halagang ito ay humigit-kumulang 7,50918. Hindi gaanong, ngunit palagi, at makikita mo na sa pamamagitan ng pagkuha n anumang malaki, maaari kong malampasan ang anumang numero. Ito ay hindi kapani-paniwalang mabagal (halimbawa, nangunguna tayo sa sampung may mga sangkap lamang), ngunit ang walang katapusang paglago ay palaging nabighani sa mga mathematician.

Paglalakbay sa kawalang-hanggan kasama ang maharmonya na serye

Narito ang isang palaisipan sa ilang medyo seryosong matematika. Mayroon kaming walang limitasyong supply ng mga hugis-parihaba na bloke (ano ang masasabi ko, hugis-parihaba!) na may mga sukat, sabihin, 4 × 2 × 1. Isaalang-alang ang isang sistema na binubuo ng ilang (sa fig. 2 - apat) na mga bloke, na nakaayos upang ang una ay nakahilig sa ½ ng haba nito, ang pangalawa mula sa itaas ng ¼ at iba pa, ang pangatlo ng isang ikaanim. Well, siguro para talagang maging stable, i-tilt natin ng kaunti ang unang brick. Hindi mahalaga para sa mga kalkulasyon.

kanin. 2. Pagtukoy sa sentro ng grabidad

Madaling maunawaan din na dahil ang pigura na binubuo ng unang dalawang bloke (nagbibilang mula sa itaas) ay may sentro ng simetrya sa punto B, kung gayon ang B ay ang sentro ng grabidad. Tukuyin natin sa geometrical na paraan ang sentro ng grabidad ng system, na binubuo ng tatlong itaas na bloke. Ang isang napaka-simpleng argumento ay sapat na dito. Hatiin natin sa isip ang tatlong-block na komposisyon sa dalawang itaas at pangatlo sa ibaba. Ang sentro na ito ay dapat nakahiga sa seksyon na nagkokonekta sa mga sentro ng grabidad ng dalawang bahagi. Sa anong punto ng episode na ito?

Mayroong dalawang paraan upang italaga. Sa una, gagamitin natin ang obserbasyon na ang sentrong ito ay dapat na nasa gitna ng isang tatlong-block na pyramid, ibig sabihin, sa isang tuwid na linya na nagsasalubong sa pangalawa, gitnang bloke. Sa pangalawang paraan, naiintindihan namin na dahil ang dalawang tuktok na bloke ay may kabuuang mass na dalawang beses kaysa sa isang bloke #3 (itaas), ang sentro ng grabidad sa seksyong ito ay dapat na dalawang beses na mas malapit sa B kaysa sa gitna. S ng ikatlong bloke. Sa katulad na paraan, nakita namin ang susunod na punto: ikinonekta namin ang natagpuang sentro ng tatlong bloke sa gitnang S ng ikaapat na bloke. Ang gitna ng buong sistema ay nasa taas 2 at sa puntong naghahati sa segment ng 1 hanggang 3 (iyon ay, sa ¾ ng haba nito).

Ang mga kalkulasyon na gagawin namin ng kaunti pa ay humahantong sa resulta na ipinapakita sa Fig. fig. 3. Ang magkakasunod na sentro ng grabidad ay inaalis mula sa kanang gilid ng ibabang bloke sa pamamagitan ng:

Kaya, ang projection ng center of gravity ng pyramid ay palaging nasa loob ng base. Hindi babagsak ang tore. Ngayon tingnan natin fig. 3 at sandali, gamitin natin ang ikalimang bloke mula sa itaas bilang base (yung minarkahan ng mas maliwanag na kulay). Nangungunang hilig:

kaya, ang kaliwang gilid nito ay 1 pa kaysa sa kanang gilid ng base. Narito ang susunod na swing:

Ano ang pinakamalaking swing? alam na natin! Walang pinakadakila! Ang pagkuha ng kahit na ang pinakamaliit na bloke, maaari kang makakuha ng isang overhang ng isang kilometro - sa kasamaang-palad, lamang mathematically: ang buong Earth ay hindi magiging sapat upang bumuo ng napakaraming mga bloke!

kanin. 3. Magdagdag ng higit pang mga bloke

Ngayon ang mga kalkulasyon na iniwan namin sa itaas. Kakalkulahin namin ang lahat ng mga distansya "pahalang" sa x-axis, dahil iyon lang ang naroroon. Point A (ang sentro ng grabidad ng unang bloke) ay 1/2 mula sa kanang gilid. Point B (ang gitna ng dalawang block system) ay 1/4 ang layo mula sa kanang gilid ng pangalawang bloke. Hayaang ang panimulang punto ay ang dulo ng pangalawang bloke (ngayon ay magpapatuloy tayo sa pangatlo). Halimbawa, nasaan ang center of gravity ng single block #3? Kalahati ng haba ng bloke na ito, samakatuwid, ito ay 1/2 + 1/4 = 3/4 mula sa aming reference point. Nasaan ang point C? Sa dalawang-katlo ng segment sa pagitan ng 3/4 at 1/4, ibig sabihin, sa puntong nauna, binabago namin ang reference point sa kanang gilid ng ikatlong bloke. Ang center of gravity ng three-block system ay inalis na ngayon sa bagong reference point, at iba pa. Sentro ng grabidad C_n ang isang tore na binubuo ng n block ay 1/2n ang layo mula sa instant reference point, na siyang kanang gilid ng base block, ibig sabihin, ang nth block mula sa itaas.

Dahil nag-iiba ang serye ng mga reciprocal, makakakuha tayo ng anumang malaking variation. Talaga bang maipapatupad ito? Ito ay tulad ng isang walang katapusang brick tower - maaga o huli ay babagsak ito sa sarili nitong bigat. Sa aming pamamaraan, ang kaunting kamalian sa paglalagay ng block (at ang mabagal na pagtaas sa mga bahagyang kabuuan ng serye) ay nangangahulugang hindi kami makakarating nang napakalayo.